Функционально-дифференциальное уравнение

— Функционально-дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом. То есть функционально-дифференциальное уравнение — это уравнение, которое содержит функцию и некоторые ее производные, оцениваемые при разных значениях аргумента. ^[1]

Функционально-дифференциальные уравнения находят применение в математических моделях, которые предполагают, что определенное поведение или явление зависит как от настоящего, так и от прошлого состояния системы. ^[2] Другими словами, прошлые события явно влияют на будущие результаты. По этой причине функционально-дифференциальные уравнения более применимы, чем обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) , в которых будущее поведение лишь неявно зависит от прошлого.

Определение [ править ]

В отличие от обычных дифференциальных уравнений, которые содержат функцию одной переменной и ее производные, оцениваемые с помощью одних и тех же входных данных, функционально-дифференциальные уравнения содержат функцию и ее производные, оцениваемые с разными входными значениями.

Примером обыкновенного дифференциального уравнения может быть $f'(x)=2f(x)+1$
Для сравнения, функционально-дифференциальное уравнение будет иметь вид $f'(x)=2f(x+3)-[f(x-1)]^{2}$

Самый простой тип функционально-дифференциального уравнения, называемый функционально-дифференциальным уравнением с запаздыванием или дифференциально-разностным уравнением с запаздыванием , имеет форму ^[3]

x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-r){\bigr )}

Примеры [ править ]

Простейшим фундаментальным функционально-дифференциальным уравнением является линейное дифференциальное уравнение с запаздыванием первого порядка. ^[4]^{[ ненадежный источник? ]} который дается

x'(t)=\alpha _{1}x(t)+\alpha _{2}x(t-\tau )+f(t),t\geq 0

где $\alpha _{1},\alpha _{2},\tau$ являются константами, $f(t)$ — некоторая непрерывная функция, и $x$ является скаляром. Ниже представлена таблица со сравнением нескольких обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений.

	Обыкновенное дифференциальное уравнение	Функционально-дифференциальное уравнение
Примеры	$f'(x)=x^{2}-3$	$f'(x)=3x-f(x-4)$
	$f'(x)=f(x)-8$	$x'(t)=3x(2t)-{\bigl [}x(t-1){\bigr ]}^{2}$
	$F{\bigl (}t,x(t),x'(t),x''(t){\bigr )}=0$	$2x(3t+1)-5x(4t)=1$
	$f'(x)=4f(x)-3x$

Виды функционально-дифференциальных уравнений [ править ]

«Функционально-дифференциальное уравнение» — это общее название ряда более конкретных типов дифференциальных уравнений, которые используются во многих приложениях. Существуют дифференциальные уравнения с запаздыванием, интегро-дифференциальные уравнения и так далее.

Дифференциально-разностное уравнение [ править ]

Дифференциально-разностные уравнения — это функционально-дифференциальные уравнения, в которых значения аргументов дискретны. ^[1] Общая форма функционально-дифференциальных уравнений с конечным числом дискретных отклоняющихся аргументов имеет вид

x^{(n)}(t)=f{\Bigl (}t,x^{(n_{1})}{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x^{(n_{2})}{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x^{(n_{k})}{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}

где $x(t)\in \mathbb {R} ^{m},\,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}\geq 0,$ и $\tau _{1}(t),\tau _{2}(t),\ldots ,\tau _{i}(t)\geq 0$

Дифференциально-разностные уравнения также называют запаздывающими , нейтральными , опережающими и смешанными функционально-дифференциальными уравнениями. Эта классификация зависит от того, зависит ли скорость изменения текущего состояния системы от прошлых ценностей, будущих ценностей или от того и другого. ^[5]

Классификации дифференциально-разностных уравнений ^[6]
Отсталый	$x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ){\bigr )}$
Нейтральный	$x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ),x'(t-\tau ){\bigr )}$
Передовой	$x'(t-\tau )=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ){\bigr )}$

Дифференциальное с задержкой уравнение

Функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа возникают, когда $\max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\ \}<n$ для уравнения, приведенного выше. Другими словами, этот класс функционально-дифференциальных уравнений зависит от прошлых и настоящих значений функции с запаздываниями.

Простой пример запаздывающего функционально-дифференциального уравнения:

x'(t)=-x(t-\tau )

тогда как более общая форма для дискретных отклоняющихся аргументов может быть записана как

x'(t)=f{\Bigl (}t,x{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}.

дифференциальные Нейтральные уравнения

Функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа, или нейтральные дифференциальные уравнения, возникают, когда

\max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\}=n.

Нейтральные дифференциальные уравнения зависят от прошлых и настоящих значений функции, аналогично дифференциальным уравнениям с запаздыванием, за исключением того, что они также зависят от производных с запаздыванием. Другими словами, запаздывающие дифференциальные уравнения не содержат производную заданной функции с запаздыванием, в отличие от нейтральных дифференциальных уравнений.

Интегро-дифференциальное уравнение [ править ]

Интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра представляют собой функционально-дифференциальные уравнения с непрерывными значениями аргумента. ^[1] Интегро-дифференциальные уравнения включают как интегралы, так и производные некоторой функции по ее аргументу.

Непрерывное интегро-дифференциальное уравнение для функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием $x'(t)=f{\bigl (}t,x(t-\tau _{1}(t)),x(t-\tau _{2}(t)),\ldots ,x(t-\tau _{k}(t)){\bigr )}$ , можно записать как

x'(t)=f{\Biggl (}t,\int _{t-\tau (t)}^{t}K(t,\theta ,x(\theta ))\,\mathrm {d} \theta {\Biggr )},\quad \tau (t)\geq 0

Приложение [ править ]

Функционально-дифференциальные уравнения использовались в моделях, определяющих будущее поведение определенного явления, определяемого настоящим и прошлым. Будущее поведение явлений, описываемое решениями ОДУ, предполагает, что поведение не зависит от прошлого. ^[2] Однако может быть много ситуаций, которые зависят от прошлого поведения.

FDE применимы для моделей в различных областях, таких как медицина, механика, биология и экономика. FDE использовались в исследованиях теплопередачи, обработки сигналов, эволюции видов, транспортных потоков и изучения эпидемий. ^[1]^[4]

Рост населения с времени задержкой во

Логистическое уравнение роста населения имеет вид

{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right),

где ρ — коэффициент воспроизводства, а k — пропускная способность .

x(t)

представляет размер популяции в момент времени t и

{\textstyle \rho \left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right)}

- скорость воспроизводства, зависящая от плотности. ^[7]

Если бы мы сейчас применили это к более раннему времени $t-\tau$ , мы получаем

{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t-\tau )}{k}}\right)

Модель смешивания [ править ]

При работе с обыкновенными дифференциальными уравнениями многие сталкиваются с моделью смешивания некоторых химических растворов.

Предположим, есть контейнер с литрами соленой воды. Соленая вода течет в контейнер и выходит из него с одинаковой скоростью. $r$ литров в секунду. Другими словами, скорость поступления воды равна скорости вытекания раствора соленой воды. Позволять $V$ количество соленой воды в контейнере в литрах и $x(t)$ быть однородной концентрацией в граммах на литр соленой воды в определенный момент времени. $t$ . Тогда мы имеем дифференциальное уравнение ^[8]

x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t),{\frac {r}{V}}>0

Проблема с этим уравнением заключается в том, что оно предполагает, что каждая капля воды, попадающая в контейнер, мгновенно смешивается с раствором. Этого можно избежать, используя FDE вместо ODE.

Позволять $x(t)$ быть средней концентрацией во времени $t$ , а не униформа. Затем предположим, что решение покидает контейнер в определенное время. $t$ равно $x(t-\tau ),\tau >0$ , средняя концентрация в какой-то более ранний момент. Тогда уравнение представляет собой дифференциальное уравнение с запаздыванием вида ^[8]

x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t-\tau )

Вольтерры - жертва Модель хищник

Модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры изначально была разработана для наблюдения за популяцией акул и рыб в Адриатическом море; однако эта модель использовалась во многих других областях для различных целей, например, для описания химических реакций. Моделирование популяции «хищник-жертва» всегда широко исследовалось, и в результате появилось множество различных форм исходного уравнения.

Один из примеров, как показали Сюй, Ву (2013), ^[9] модели Лотки – Вольтерра с запаздыванием приведена ниже:

p'(t)=p(t){\Biggl [}r_{1}(t)-a_{11}(t)p{\biggl (}t-\tau _{11}(t){\biggr )}-a_{12}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{12}(t){\biggr )}-a_{13}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{13}(t){\biggr )}{\Biggr ]}

P_{1}'(t)=P_{1}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{21}(t)p{\biggl (}t-\tau _{21}(t){\biggr )}-a_{22}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{22}(t){\biggr )}-a_{23}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{23}(t){\biggr )}{\Biggr ]}

P_{2}'(t)=P_{2}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{31}(t)p{\biggl (}t-\tau _{31}(t){\biggr )}-a_{32}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{32}(t){\biggr )}-a_{33}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{33}(t){\biggr )}{\Biggr ]}

где

p(t)

обозначает плотность популяции добычи в момент времени t,

P_{1}(t)

и

P_{2}(t)

обозначают плотность популяции хищников в момент времени

t,r_{i},a_{ij}\in C(\mathbb {R} ,[0,\infty ))

и

\tau _{ij}\in C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )

Другие модели FDE использующие ,

Примеры других моделей, в которых использовались FDE, а именно RFDE, приведены ниже:

Управляемое движение твердого тела. ^[1]
Периодические движения ^[8]
Схема триггера как NDE ^[8]
Модель эпидемии ВИЧ
Математические модели количества сахара в крови ^[1]
Уравнения эволюции отдельных видов ^[1]
Распространение инфекции между двумя видами ^[8]
Классическая электродинамика ^[10]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Колмановский В.; Мышкис, А. (1992). Прикладная теория функционально-дифференциальных уравнений . Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Хейл, Джек К. (1971). Функционально-дифференциальные уравнения . США: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90023-3 .
^ Хейл, Джек К.; Верден Люнель, Сьерд М. (1993). Введение в функционально-дифференциальные уравнения . США: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94076-6 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Фальбо, Клемент Э. «Некоторые элементарные методы решения функционально-дифференциальных уравнений» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 декабря 2016 г.
^ Го, С.; Ву, Дж. (2013). Теория бифуркаций функционально-дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 41–60. ISBN 978-1-4614-6991-9 .
^ Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. стр. 42–49 . ISBN 978-0124109735 .
^ Барнс, Б.; Фулфорд, Греция (2015). Математическое моделирование с использованием тематических исследований . ООО «Тейлор и Фрэнсис Групп». стр. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Шмитт, Клаус , изд. (1972). Запаздывание и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения . США: Академическая пресса.
^ Сюй, Чанджин; Ву, Юсен (2013). «Динамика в модели Лотки – Вольтерры Хищник – Жертва с изменяющимися во времени задержками» . Аннотация и прикладной анализ . 2013 : 1–9. дои : 10.1155/2013/956703 .
^ Гарсиа Лопес, Альваро (1 сентября 2020 г.). «Об электродинамическом происхождении квантовых флуктуаций». Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . дои : 10.1007/s11071-020-05928-5 . S2CID 210838940 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Хердман, Терри Л.; Рэнкин III, Сэмюэл М.; Стеч, Харлан В. (1981). Интегральные и функционально-дифференциальные уравнения: Конспект лекций. 67 . США: Marcel Dekker Inc, Чистая и прикладная математика.
Форд, Невилл Дж.; Ламб, Патрисия М. (2009). «Функционально-дифференциальные уравнения смешанного типа: численный подход». Журнал вычислительной и прикладной математики. 229 (2): 471–479
Лемон, Грег; Кинф, Джон Р. (2012). : Модель функционального дифференциального уравнения для сортировки биологических клеток за счет дифференциальной адгезии». Математические модели и методы в прикладных науках. 12 (1): 93–126.
Да Силва, Кармен, Эскаланте, Рене (2011). «Сегментированная тау-аппроксимация для функционально-дифференциального уравнения вперед-назад». Компьютеры и математика с приложениями. 62 (12): 4582–4591
Правица, Д.В.; Рандриампири, Н.; Сперр, MJ (2009). «Применение сложного дифференциального уравнения при изучении вейвлетов». Прикладной и вычислительный гармонический анализ. 27 (1): 2 (10)
Бреда, Дмитрий; Масет, Стефано; Вермиглио Россана (2015). Устойчивость линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием: численный подход с использованием MATLAB. Спрингер. ISBN 978-1-4939-2106-5

[:0-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Колмановский В.; Мышкис, А. (1992). Прикладная теория функционально-дифференциальных уравнений . Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1 .

[:3-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Хейл, Джек К. (1971). Функционально-дифференциальные уравнения . США: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90023-3 .

[:1-3] Хейл, Джек К.; Верден Люнель, Сьерд М. (1993). Введение в функционально-дифференциальные уравнения . США: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94076-6 .

[:4-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Фальбо, Клемент Э. «Некоторые элементарные методы решения функционально-дифференциальных уравнений» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 20 декабря 2016 г.

[:5-5] Го, С.; Ву, Дж. (2013). Теория бифуркаций функционально-дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 41–60. ISBN 978-1-4614-6991-9 .

[6] Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. стр. 42–49 . ISBN 978-0124109735 .

[7] Барнс, Б.; Фулфорд, Греция (2015). Математическое моделирование с использованием тематических исследований . ООО «Тейлор и Фрэнсис Групп». стр. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5 .

[:2-8] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Шмитт, Клаус , изд. (1972). Запаздывание и функционально-дифференциальные уравнения и их приложения . США: Академическая пресса.

[9] Сюй, Чанджин; Ву, Юсен (2013). «Динамика в модели Лотки – Вольтерры Хищник – Жертва с изменяющимися во времени задержками» . Аннотация и прикладной анализ . 2013 : 1–9. дои : 10.1155/2013/956703 .

[10] Гарсиа Лопес, Альваро (1 сентября 2020 г.). «Об электродинамическом происхождении квантовых флуктуаций». Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . дои : 10.1007/s11071-020-05928-5 . S2CID 210838940 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]