Набор решений

В математике набор решений — это набор значений, которые удовлетворяют заданному набору уравнений или неравенств .

Например, для набора $\{f_{i}\}$ многочленов ​ над кольцом $R$,множество решений является подмножеством $R$ на котором все полиномы обращаются в нуль (оцениваются как 0), формально

$\{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}$

задачи Допустимой областью оптимизации с ограничениями является множество решений ограничений .

Примеры

1. Множество решений одного уравнения $x=0$ это набор {0}.
2. Для любого ненулевого многочлена $f$ над комплексными числами от одной переменной множество решений состоит из конечного числа точек.
3. Однако для комплексного многочлена от более чем одной переменной множество решений не имеет изолированных точек.

Замечания

В алгебраической геометрии множества решений называются алгебраическими множествами, если в них нет неравенств. Над вещественными числами и с неравенствами существуют так называемые полуалгебраические множества .

Другие значения

более общем смысле, решение, заданное для произвольного набора E отношений В ( E _i ) ( i варьируется в некотором наборе индексов I ) для набора неизвестных ${(x_{j})}_{j\in J}$, предполагается принимать значения в соответствующих пространствах ${(X_{j})}_{j\in J}$, – множество S всех решений отношений E , где решение $x^{(k)}$ это семья ценностей ${\textstyle {\left(x_{j}^{(k)}\right)}_{j\in J}\in \prod _{j\in J}X_{j}}$ такой, что замена ${\left(x_{j}\right)}_{j\in J}$ к $x^{(k)}$ в коллекции E делает все отношения «истинными».

(Вместо отношений, зависящих от неизвестных, правильнее говорить о предикатах , совокупность E — их логическая конъюнкция , а множество решений — прообраз булевого значения true ассоциированной булевозначной функцией .)

набор многочленов fi _{интерпретируется как} набор уравнений fi _{Приведенное выше значение является частным случаем этого значения, если} ( x )=0.

Примеры

• Набор решений для E = { x + y = 0 } относительно $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ знак S равно { ( а , − а ) : а ∈ R }.
• Набор решений для E = { x + y = 0 } относительно $x\in \mathbb {R}$ = S { - y }. (Здесь y не «объявлен» как неизвестный и, следовательно, не рассматривается как параметр , от которого зависит уравнение и, следовательно, набор решений.)
• Набор решений для $E=\{{\sqrt {x}}\leq 4\}$ относительно $x\in \mathbb {R}$ — интервал S = [0,2] (поскольку ${\sqrt {x}}$ не определено для отрицательных значений x ).
• Набор решений для $E=\{e^{ix}=1\}$ относительно $x\in \mathbb {C}$ есть S = 2π Z (см. тождество Эйлера ).

См. также

• Решение уравнений
• Посторонние и недостающие решения