Пентация
 | Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . ( январь 2023 г. ) |
В математике пентация гипер (или -5 ) — пятая гипероперация . Пентация определяется как повторяющаяся тетрация , аналогично тому, как тетрация — это повторяющееся возведение в степень , возведение в степень — это повторяющееся умножение , а умножение — это повторное сложение . Понятие «пентация» было названо английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году, когда он придумал схему наименования гиперопераций.
Число а, пентенированное к числу b, определяется как тетрадное к самому себе b – 1 раз. Это можно по-разному обозначать как , , , , или , в зависимости от выбора обозначения.
![{\displaystyle a[5]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d782af460e582816fb4e49d3907b621dd297d4d3)
Например, 2, пентированная до 2, — это 2, тетрадная до 2, или 2, возведенная в степень 2, что составляет . В качестве другого примера: 2, пентированная к 3, равна 2, тетрадной к 2. Поскольку 2, тетрадированная к 2, равно 4, 2, пентированная к 3, представляет собой 2, тетрадную к 4, что .
Согласно этому определению, пентация определяется только тогда, когда a и b являются положительными целыми числами .
Определение [ править ]
Пентация — следующая гипероперация (бесконечная последовательность арифметических действий) после тетрации и перед гексацией . Он определяется как итерированная (повторяющаяся) тетрация (при условии правой ассоциативности). Это похоже на то, что тетрация представляет собой итерированное правоассоциативное возведение в степень . [1] Это бинарная операция, определенная двумя числами a и b , где a тетрадится само собою b - 1 раз.
Тип гипероперации обычно обозначается числом в скобках []. Например, используя нотацию гипероперации для пентации и тетрации, означает тетратирование 2 к самому себе 2 раза, или . Затем это можно сократить до
![{\displaystyle 2[5]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c3c4f3a4215af3d0aba5d1be34d345eb03d108)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ca481db73e672c49db94005ca4638ee07e9a35)
=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16} =65 536.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dde2e1ae796cf35361a4eac0ed5ee088dad464d)
Этимология [ править ]
Слово «пентация» было придумано Рубеном Гудстейном в 1947 году от корней пента- (пять) и итерация . Это часть его общей схемы именования гиперопераций . [2]
Обозначения [ править ]
Существует мало единого мнения относительно обозначения пентации; Таким образом, существует много разных способов записи операции. Однако некоторые из них используются чаще, чем другие, а некоторые имеют явные преимущества или недостатки по сравнению с другими.
- Пентация может быть записана как гипероперация как . В этом формате можно интерпретировать как результат многократного применения функции , для повторений, начиная с цифры 1. Аналогично, , тетрация, представляет собой значение, полученное путем многократного применения функции , для повторы, начиная с цифры 1 и пентации представляет значение, полученное путем многократного применения функции , для повторения, начиная с цифры 1. [3] [4] Именно такие обозначения будут использоваться в оставшейся части статьи.
![{\displaystyle a[3]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd946603b3dd3c072053d13fbe120d44f70ac8ab)
![{\displaystyle x\mapsto a[2]x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de6cda8581e622a5228d53c7ad2e3eb16ca119b)
![{\displaystyle a[4]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfddc8a9d38692fe9ac6ecee1527c90dd2ecccca)
![{\displaystyle x\mapsto a[3]x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ffd1906771db6725baa931ab37956655a65e38)
![{\displaystyle x\mapsto a[4]x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0a37e85c7d20e456e6ef5db50d1c3b6d2f1915)
- В обозначениях Кнута, направленных вверх , представлен как или . В этих обозначениях представляет собой функцию возведения в степень и представляет собой тетратацию. Операцию можно легко адаптировать для гексации, добавив еще одну стрелку.
- В обозначении цепной стрелки Конвея . [5]
- Другое предлагаемое обозначение: , хотя это не распространяется на более высокие гипероперации. [6]
![{\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b63a65e4bf6c07338977b0fedeca2a2b702f4306)
Примеры [ править ]
Значения пентационной функции можно получить также из значений четвертой строки таблицы значений варианта функции Аккермана : если определяется рекуррентностью Аккермана с начальными условиями и , затем . [7]
![{\displaystyle a[5]b=A(4,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de36fd296e5556dc05d3da63d988f0e3aba29d19)
Поскольку тетрация, ее основная операция, не была распространена на нецелые высоты, пентация в настоящее время определяется только для целочисленных значений a и b, где a > 0 и b ≥ −2, а также для нескольких других целочисленных значений, которые могут быть определены однозначно. Как и все гипероперации порядка 3 ( возведение в степень ) и выше, пентация имеет следующие тривиальные случаи (тождества), которые справедливы для всех значений a и b в пределах ее области:
![{\displaystyle 1[5]b=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa921244f5a19ac238e1e5facbce803f7bd536a)
![{\displaystyle a[5]1=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b09635a9e2ad78029099d065c824340b94ee2c)
Дополнительно можно ввести следующие определяющие соотношения:
![{\displaystyle а[5]2 = а[4]а}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af77310dd762cc30118f6595813c7b9d8fefd72e)
![{\displaystyle a[5]0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5cdf53a1e0c4bd1ee33b75c0375f3c2be4bbe)
=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38979a979502245eb33bd881f3b464e45adfea0)
=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc99b8fb595e98b67463657c9950b4eba96d2cb)
=a[4](a[5]b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09568169f0a8bdbd468ab07f60d1e74c56439a4)
За исключением тривиальных случаев, показанных выше, пентация очень быстро генерирует чрезвычайно большие числа. В результате существует лишь несколько нетривиальных случаев, в которых возникают числа, которые можно записать в обычных обозначениях, и все они перечислены ниже.
Некоторые из этих чисел записаны в обозначениях Power Tower из-за их огромных размеров. Обратите внимание, что .
Список выглядит следующим образом:
Здесь [5] означает пентированный; Шакти Вират Упадхьяй:
- .
- (число, в котором больше 10 153 цифры)
- (число, имеющее более 10 10 2184 цифры)
![{\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f544aee58a80be2fa1dcdae14cddab48f8b189d9)
![{\displaystyle 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2} }}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb29f9dc74dba7f4a713a28582c90f537827938f)
![{\displaystyle 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4) =2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (энергетическая башня высотой 65,536) }}\ приблизительно \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c41819210b848db43294a19dda82f879c92dec0)
![{\displaystyle 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4]( 2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}} }}}{\mbox{ (энергетическая башня высотой 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227977424727e9a4313595075ee7556b01210f52)
![{\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a455992a369ea94a39c61963513f4d19b3c7800)
![{\displaystyle 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987 = 3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (вышка электропередачи высотой 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428decd75ac732e6a8bb74b6f10ebf130f4e7040)
![{\displaystyle 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7 625 597 484 987) =3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (энергетическая башня высотой 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \ exp _{10}^{3[4]7 625 597 484 987-1}(1,09902)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44619c29439c58475ede02e33e1ac0f3bc6ecef)
![{\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3} (2.19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb9353578126aa7a2e5dbbb93f5587a9f80373a)
![{\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp _{10}^{4}(3,33928)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428de46090279b2771bd9e491bfb0d4886183d53)
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перстейн, Миллард Х. (июнь 1961 г.), «Алгоритм 93: Арифметика общего порядка», Communications of ACM , 5 (6): 344, doi : 10.1145/367766.368160 , S2CID 581764 .
- ^ Гудштейн, Р.Л. (1947), «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел», Журнал символической логики , 12 (4): 123–129, doi : 10.2307/2266486 , JSTOR 2266486 , MR 0022537 , S2CID 1318943 .
- ^ Кнут, DE (1976), «Математика и информатика: борьба с конечностью», Science , 194 (4271): 1235–1242, Бибкод : 1976Sci...194.1235K , doi : 10.1126/science.194.4271.1235 , PMID 17797067 , S2CID 1690489 .
- ^ Блейкли, Греция; Борош, И. (1979), «Итерированные степени Кнута», Advance in Mathematics , 34 (2): 109–136, doi : 10.1016/0001-8708(79)90052-5 , MR 0549780 .
- ^ Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард (1996), Книга чисел , Спрингер, стр. 61, ISBN 9780387979939 .
- ^ "Tetration.org - Тетрация" . www.tetration.org . Проверено 12 сентября 2022 г.
- ^ Намбиар, К.К. (1995), «Функции Аккермана и трансфинитные ординалы», Applied Mathematics Letters , 8 (6): 51–53, CiteSeerX 10.1.1.563.4668 , doi : 10.1016/0893-9659(95)00084-4 , MR 1368037 .