История больших чисел

В разных культурах использовались разные традиционные системы счисления для обозначения больших чисел . Степень использования больших чисел различалась в каждой культуре. Два интересных момента в использовании больших чисел — это путаница в терминах «миллиард» и «миллиард» во многих странах, а также использование «миллиона» для обозначения очень большого числа там, где точность не требуется.

Индийская математика

Индуистские единицы времени в логарифмической шкале .

В Шукла Яджурведе есть список названий степеней от десяти до десяти. ¹² .Список, данный в тексте Яджурведы:

эка (1), даша (10), ) месочи (100 сахасра , (1000), аюта (10 000), нийута (100 000), прайута (1 000 000), арбуда ( 10 000 000), ньярбуда (100 000 000), сагуран (1 000 000 000), мадхья (10 000 000 000), анта (100 000 000 000), парардха (1 000 000 000 000).

Более поздние индуистские и буддийские тексты расширили этот список, но эти списки больше не являются взаимосогласованными, а названия чисел больше 10 ⁸ различаются между текстами.

Например, Панчавимша Брахман перечисляет 10 ⁹ как Нихарва , 10 ¹⁰ Вадава , 10 ¹¹ акшити , в то время как Шанкхьяяна Шраута Сутра имеет 10 ⁹ Нихарва , 10 ¹⁰ океан , 10 ¹¹ в течение , 10 ¹² Антия , 10 ¹³ ананта . Такие списки названий степеней десяти называются дашагуноттарра самджня . Существуют также аналогичные списки санскритских названий дробных чисел, то есть степеней одной десятой.

Махаяна . Лалитавистара Сутра примечательна тем, что дает очень обширный такой список, в котором терминов доходит до 10 ⁴²¹ . Контекст представляет собой отчет о состязании, включающем в себя письмо, арифметику, борьбу и стрельбу из лука, в котором Будда противостоял великому математику Арджуне и продемонстрировал свои математические навыки, называя названия степеней от десяти до 1 «таллакшана». что равно 10 ⁵³ , но затем продолжаю объяснять, что это всего лишь одна из серии систем счета, которую можно расширить геометрически.

Аватамсака -сутра , текст, связанный с буддийской школой Локоттаравада , имеет еще более обширный список названий чисел, и он выходит за рамки простого перечисления степеней десяти, вводя конкатенацию возведения в степень, причем наибольшее упомянутое число - это нирабхилапья нирабхилапья париварта (Букешуо букэсюо). чжуань不可說不可說轉), соответствующий $10^{7\times 2^{122}}$. хотя в главе 30 («Асамкьеи») в переводе Томаса Клири мы находим определение числа «невыразимое» как ровно 10. ^{10*2 122} , расширен во 2-м стихе до 10 ^{4*5*2 121} и продолжая подобное расширение неопределенно долго.Примеры других имен, данных в Аватамсака-сутре, включают: асанкхьея (असंख्येय) 10 ¹⁴⁰ .

Джайнский математический текст Сурья Праджнапти (ок. 4–3 века до н. э.) делит все числа на три набора: перечислимые , неисчислимые и бесконечные. Каждый из них подразделялся на три порядка: перечислимый (низший, промежуточный и высший), бесчисленный (почти бесчисленный, поистине бесчисленный и бесчисленно бесчисленный) и бесконечный (почти бесконечный, истинно бесконечный, бесконечно бесконечный).

В современной Индии термин «лакх» означает 10 ⁵ и крор за 10 ⁷ находятся в общем пользовании. Обе являются народными (хиндустанскими) формами, полученными из списка названий степеней десяти в Яджнявалкья Смрити , где 10 ⁵ и 10 ⁷ называются лакша и коти соответственно.

Классическая античность

В западном мире конкретные названия больших чисел не вошли в обиход до недавнего времени. Древние греки использовали систему, основанную на мириаде , то есть десяти тысячах, а их самое большое названное число было мириады мириад, или сто миллионов.

В «Песочном счетчике » Архимед (ок. 287–212 до н. э.) разработал систему обозначения больших чисел, достигающих

$10^{8\times 10^{16}}$,

по сути, называя силы несметного множества. Это самое большое число появляется потому, что оно равно мириадам мириад мириадам мириадной степени, взятым в мириаде мириадной степени. Это дает хорошее представление о трудностях с обозначениями, с которыми столкнулся Архимед, и можно предположить, что он остановился на этом числе, потому что он не изобрел никаких новых порядковых чисел (больших, чем «мириада мириадт»), соответствующих его новым кардинальным числам . Архимед использовал свою систему только до 10 ⁶⁴ .

Целью Архимеда, по-видимому, было назвать большие степени 10 , чтобы дать приблизительные оценки, но вскоре после этого Аполлоний Пергский изобрел более практичную систему обозначения больших чисел, которые не были степенями 10, основанную на наименовании степеней множества, поскольку например, β М было бы мириадой квадратов.

Намного позже, но еще в древности , эллинистический математик Диофант (3 век) использовал аналогичные обозначения для обозначения больших чисел.

Римляне, которых меньше интересовали теоретические вопросы, выражали 1 000 000 как decies centena milia , то есть «десятьсот тысяч»; только в 13 веке было введено (первоначально французское) слово « миллион ».

больших

В современной математике встречаются гораздо большие конечные числа, чем любое из этих. Например, число Грэма слишком велико, чтобы его можно было разумно выразить с помощью возведения в степень или даже тетрации . Дополнительные сведения о современном использовании больших чисел см. в разделе Большие числа . Для обработки этих чисел новые обозначения создаются и используются . Существует большое сообщество математиков, занимающихся называнием больших чисел. Число Райо считается самым большим именным числом.

Бесконечность

Основные статьи: Бесконечность и Трансфинитное число

До недавнего времени пределом больших чисел была концепция бесконечности — числа, определяемого как большее, чем любое конечное число, и используемого в математической теории пределов .

Однако с XIX века математики изучали трансфинитные числа — числа, которые не только больше любого конечного числа, но и, с точки зрения теории множеств , больше традиционного понятия бесконечности. Из этих трансфинитных чисел, пожалуй, самыми необычными и, возможно, если они существуют, «самыми большими», являются большие кардиналы .