Точка Ферма

В евклидовой геометрии точка Ферма треугольника точкой Ферма , также называемая точкой Торричелли или -Торричелли , представляет собой точку, в которой сумма трех расстояний от каждой из трех вершин треугольника до точки является наименьшей из возможных. ^[1] или, что то же самое, геометрическая медиана трех вершин. Она названа так потому, что впервые эта проблема была поднята Ферма в частном письме Евангелисте Торричелли , который и решил ее.

Точка Ферма дает решение задачи геометрической медианы и дерева Штейнера для трех точек.

Строительство

Точка Ферма треугольника с наибольшим углом не более 120° — это просто его первый изогонический центр или X(13) , ^[2] который строится следующим образом:

Постройте равносторонний треугольник по каждой из двух произвольно выбранных сторон данного треугольника.
Проведите линию от каждой новой вершины к противоположной вершине исходного треугольника.
Две линии пересекаются в точке Ферма.

Альтернативный метод заключается в следующем:

На каждой из двух произвольно выбранных сторон постройте равнобедренный треугольник с основанием рассматриваемой стороны, углами в 30 градусов в основании и третьей вершиной каждого равнобедренного треугольника, лежащей за пределами исходного треугольника.
Для каждого равнобедренного треугольника нарисуйте круг, в каждом случае с центром в новой вершине равнобедренного треугольника и с радиусом, равным каждой из двух новых сторон этого равнобедренного треугольника.
Пересечение внутри исходного треугольника между двумя кругами является точкой Ферма.

Когда угол треугольника превышает 120°, точка Ферма располагается в вершине с тупым углом.

В дальнейшем «Случай 1» означает, что угол треугольника превышает 120 °. «Случай 2» означает, что ни один угол треугольника не превышает 120 °.

Расположение X(13)

На рис. 2 показаны равносторонние треугольники $△ ARB, △ AQC, △ CPB,$ прикрепленные к сторонам произвольного треугольника $△ ABC$ .Вот доказательство, использующее свойства конциклических точек , чтобы показать, что все три линии $RC, BQ, AP$ на рис. 2 пересекаются в точке $F$ и пересекают друг друга под углами 60 °.

Треугольники $△ RAC, △ BAQ$ конгруэнтны , потому что второй повернут на 60° первого вокруг $A$ . Следовательно, $∠ ARF = ∠ ABF$ и $∠ AQF = ∠ ACF$ . По обратной теореме о вписанном угле, примененной к отрезку $AF$ , точки $ARBF$ лежат на окружности . Аналогично точки $AFCQ$ лежат на одной окружности.

$∠ ARB = 60°$ , поэтому $∠ AFB = 120°$ , используя теорему о вписанном угле . Аналогично, $∠ AFC = 120°$ .

Итак, $∠ BFC = 120°$ . Следовательно, $∠ BFC + ∠ BPC = 180°$ . Используя теорему о вписанном угле , это означает, что точки $BPCF$ лежат на одной окружности. Итак, используя теорему о вписанном угле, примененную к отрезку $BP$ , $∠ BFP = ∠ BCP = 60°$ . Поскольку $∠ BFP + ∠ BFA = 180°$ , точка $F$ лежит на отрезке $AP$ . Итак, прямые $RC, BQ, AP$ совпадают ( пересекаются в одной точке). КЭД

Это доказательство применимо только в случае 2, поскольку если $∠ BAC > 120°$ , точка $A$ лежит внутри описанной окружности $△ BPC$ что меняет местами относительные положения $A$ и $F.$ , Однако его легко модифицировать, чтобы охватить случай 1. Тогда $∠ AFB = ∠ AFC = 60°,$ следовательно, $∠ BFC = ∠ AFB + ∠ AFC = 120°$ , что означает, что $BPCF$ конциклен, поэтому $∠ BFP = ∠ BCP = 60° = ∠ BFA$ . Следовательно, $A$ лежит на $FP$ .

Линии, соединяющие центры окружностей на рис. 2, перпендикулярны отрезкам $AP, BQ, CR$ . Например, линия, соединяющая центр круга, содержащего $△ ARB$ , и центр круга, содержащего $△ AQC$ , перпендикулярна отрезку $AP$ . Итак, линии, соединяющие центры окружностей, также пересекаются под углом 60°. Следовательно, центры кругов образуют равносторонний треугольник. Это известно как теорема Наполеона .

Расположение точки Ферма

Традиционная геометрия

Для любого евклидова треугольника $△ ABC$ и произвольной точки $P$ пусть $d(P)=|PA|+|PB|+|PC|.$ Целью этого раздела является определение точки $P 0$ такой, что $d(P_{0})<d(P)$ для всех $P\neq P_{0}.$ Если такая точка существует, то это будет точка Ферма. В дальнейшем $∆$ будет обозначать точки внутри треугольника и включать его границу $Ω$ .

Ключевым результатом, который будет использоваться, является правило изгиба, которое утверждает, что если у треугольника и многоугольника есть одна общая сторона, а остальная часть треугольника лежит внутри многоугольника, то периметр треугольника короче, чем у многоугольника:

Если

AB

— общая сторона, продлите

AC

чтобы разрезать многоугольник в точке

X.

, Тогда периметр многоугольника по неравенству треугольника равен :

{\text{perimeter}}>|AB|+|AX|+|XB|=|AB|+|AC|+|CX|+|XB|\geq |AB|+|AC|+|BC|.

Пусть $P$ — любая точка вне $Δ$ . Свяжите каждую вершину с ее удаленной зоной; то есть полуплоскость за (расширенной) противоположной стороной. Эти 3 зоны охватывают всю плоскость, за исключением $Δ$ самой $, а Р$ явно лежит либо в одной, либо в двух из них. Если $P$ находится в двух (скажем, $B$ и $C ), то установка$ пересечение зон $P'=A$ подразумевает $d(P')=d(A)<d(P)$ по правилу изгиба. Альтернативно, если $P$ находится только в одной зоне, скажем, в $зоне A$ , тогда $d(P')<d(P)$ где $P'$ — пересечение $AP$ и $BC$ . Итак, для каждой точки $P$ вне $∆$ существует точка $P'$ в $Ω$ такая, что $d(P')<d(P).$

Случай 1. Угол треугольника ≥ 120°.

Без ограничения общности предположим, что угол при $A$ равен ≥ 120°. Постройте равносторонний треугольник $△ AFB$ и для любой точки $P$ из $Δ$ (кроме $самой A$ ) постройте $Q$ так, чтобы треугольник $△ AQP$ был равносторонним и имел указанную ориентацию. Тогда треугольник $△ ABP$ представляет собой поворот на 60° треугольника $△ AFQ$ вокруг $A,$ так что эти два треугольника конгруэнтны, и отсюда следует, что $d(P)=|CP|+|PQ|+|QF|$ это просто длина пути $CPQF$ . Поскольку $P$ вынужден лежать в пределах $△ ABC$ , по правилу изгиба длина этого пути превышает $|AC|+|AF|=d(A).$ Поэтому, $d(A)<d(P)$ для всех $P\in \Delta ,P\neq A.$ Теперь позвольте $P$ выйти за пределы $Δ$ . Сверху точка $P'\in \Omega$ существует такое, что $d(P')<d(P)$ и как $d(A)\leq d(P')$ отсюда следует, что $d(A)<d(P)$ для всех $P$ вне $∆$ . Таким образом $d(A)<d(P)$ для всех $P\neq A$ что означает, что $A$ является точкой Ферма $Δ$ . Другими словами, точка Ферма лежит в тупоугольной вершине .

Случай 2. Треугольник не имеет угла ≥ 120°.

Постройте равносторонний треугольник $△ BCD$ , пусть $P$ — любая точка внутри $Δ$ , и постройте равносторонний треугольник $△ CPQ$ . Тогда $△ CQD$ — это поворот $△ CPB$ вокруг $C$ на 60° , так что

d(P)=|PA|+|PB|+|PC|=|AP|+|PQ|+|QD|

это просто длина пути $APQD$ . Пусть $P 0$ будет точкой $AD$ и $CF.$ пересечения Эту точку обычно называют первым изогоническим центром. Выполните то же упражнение с $P 0 ,$ что и с $P$ , и найдите точку $Q 0$ . По угловому ограничению $P 0$ лежит внутри $△ ABC$ . Более того, $△ BCF$ — это поворот $△ BDA$ вокруг $B$ на 60° , поэтому $Q 0$ должен лежать где-то на $AD$ . Поскольку $∠ CDB = 60°,$ из этого следует, что $Q 0$ лежит между $P 0$ и $D$ , что означает, $что AP 0 Q 0 D$ является прямой линией, поэтому $d(P_{0}=|AD|.$ Более того, если $P\neq P_{0}$ тогда ни $P,$ ни $Q$ не будут лежать на $AD$ , что означает $d(P_{0})=|AD|<d(P).$ Теперь позвольте $P$ выйти за пределы $Δ$ . Сверху точка $P'\in \Omega$ существует такое, что $d(P')<d(P)$ и как $d(P_{0})\leq d(P')$ отсюда следует, что $d(P_{0})<d(P)$ для всех $P$ вне $∆$ . Это означает, что $является P0$ точкой Ферма $Δ$ . Другими словами, точка Ферма совпадает с первым изогоническим центром .

Векторный анализ

Пусть $O, A, B, C, X$ — любые пять точек плоскости. Обозначим векторы ${\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}},\ {\overrightarrow {OC}},\ {\overrightarrow {OX}}$ на $a, b, c, x$ соответственно, и пусть $i, j, k$ — единичные векторы из $O$ вдоль $a, b, c$ .

{\begin{aligned}|\mathbf {a} |&=\mathbf {a\cdot i} =(\mathbf {a} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,i} +\mathbf {x\cdot i} \leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot i} ,\\|\mathbf {b} |&=\mathbf {b\cdot j} =(\mathbf {b} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,j} +\mathbf {x\cdot j} \leq |\mathbf {b} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot j} ,\\|\mathbf {c} |&=\mathbf {c\cdot k} =(\mathbf {c} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,k} +\mathbf {x\cdot k} \leq |\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} .\end{aligned}}

Добавление $a, b, c$ дает

|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x} \cdot (\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} ).

Если $a, b, c$ пересекаются в точке $O$ под углами 120°, то $i + j + k = 0$ , поэтому

|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |

для всех $х$ . Другими словами,

|OA|+|OB|+|OC|\leq |XA|+|XB|+|XC|

и, следовательно, $O$ — точка Ферма $△ ABC$ .

Этот аргумент неверен, когда угол треугольника $∠ C > 120°,$ потому что не существует точки $O$ , где $a, b, c$ пересекаются под углами 120°. Тем не менее, это легко исправить, переопределив $k = - (i + j)$ и поместив $O$ в $C$ так, чтобы $c = 0$ . Обратите внимание, что $| к | \leq 1$ , поскольку угол между единичными векторами $i, j$ равен $∠ C$ , что превышает 120°. С

|\mathbf {0} |\leq |\mathbf {0} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} ,

третье неравенство остается в силе, два других неравенства не изменяются. Доказательство продолжается, как указано выше (добавляя три неравенства и используя $i + j + k = 0$ ), чтобы прийти к тому же выводу, что $O$ (или в данном случае $C$ ) должно быть точкой Ферма $△ ABC$ .

Множители Лагранжа

Другой подход к поиску точки внутри треугольника, от которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна, заключается в использовании одного из методов математической оптимизации ; в частности, метод множителей Лагранжа и закон косинусов .

Мы рисуем линии от точки внутри треугольника до его вершин и называем $X, Y, Z.$ их Также пусть длины этих линий равны $x, y, z$ соответственно. Пусть угол между $X$ и $Y$ равен $α$ , $Y$ и $Z$ равен $β$ . Тогда угол между $X$ и $Z$ равен $π - α - β$ . Используя метод множителей Лагранжа, нам нужно найти минимум лагранжиана $L$ , который выражается как:

L=x+y+z+\lambda _{1}(x^{2}+y^{2}-2xy\cos(\alpha )-a^{2})+\lambda _{2}(y^{2}+z^{2}-2yz\cos(\beta )-b^{2})+\lambda _{3}(z^{2}+x^{2}-2zx\cos(\alpha +\beta )-c^{2})

где $a, b, c$ — длины сторон треугольника.

Приравнивая каждую из пяти частных производных ${\tfrac {\partial L}{\partial x}},{\tfrac {\partial L}{\partial y}},{\tfrac {\partial L}{\partial z}},{\tfrac {\partial L}{\partial \alpha }},{\tfrac {\partial L}{\partial \beta }}$ к нулю и исключение $λ 1, λ 2, λ 3$ в конечном итоге дает $sin α = sin β$ и $sin(α + β) = - sin β,$ так что $α = β = 120°$ . Однако исключение — долгое и утомительное занятие, и конечный результат охватывает только Случай 2.

Характеристики

Когда наибольший угол треугольника не превышает 120°, X (13) является точкой Ферма.
Все углы, образуемые сторонами треугольника в точке X (13), равны 120° (случай 2) или 60°, 60°, 120° (случай 1).
трех Описанные окружности построенных равносторонних треугольников совпадают в точке X (13).
Трилинейные координаты первого изогонического центра X (13): ^[3]

{\begin{aligned}&\csc \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}

Трилинейные координаты второго изогонического центра X (14): ^[4]

{\begin{aligned}&\csc \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C+{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}

Трилинейные координаты точки Ферма:

1-u+uvw\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-v+uvw\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-w+uvw\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right)

где

u, v, w

соответственно обозначают логические переменные

(A < 120°), (B < 120°), (C < 120°)

.

Изогонально-сопряженная точка X (13) — это точка первая изодинамическая X (15): ^[5]

\sin \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right).

Изогонально-сопряженная X (14) — это вторая изодинамическая точка , X (16): ^[6]

\sin \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right).

Следующие треугольники являются равносторонними:
- противопедальный треугольник X ( 13)
- Противопедальный треугольник X (14)
- Педаль треугольник X (15)
- Педаль треугольник X (16)
- Циркумцевиев треугольник X ( 15)
- Циркумцевиев треугольник X (16)
Прямые X (13) X (15) и X (14) X (16) параллельны линии Эйлера . Три линии встречаются в точке бесконечности Эйлера X (30).
Точки X (13), X (14), центр описанной окружности и центр девяти точек лежат на окружности Лестера .
Прямая X (13) X (14) пересекает линию Эйлера в середине X (2) и X (4). ^[7]
Точка Ферма находится в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в своем центре, и может быть любой точкой внутри него. ^[8]

Псевдонимы

Изогонические центры X (13) и X (14) также известны как первая точка Ферма и вторая точка Ферма соответственно. Альтернативами являются положительная точка Ферма и отрицательная точка Ферма . Однако эти разные названия могут сбить с толку, и, возможно, их лучше избегать. Проблема в том, что большая часть литературы стирает различие между точкой Ферма и первой точкой Ферма , тогда как только в приведенном выше случае 2 они фактически одинаковы.

История

Этот вопрос был предложен Ферма как вызов Евангелисте Торричелли . Он решил задачу аналогично Ферма, но вместо этого использовал пересечение описанных окружностей трех правильных треугольников. Его ученик Вивиани опубликовал решение в 1659 году. ^[9]

См. также

Геометрическая медиана или точка Ферма – Вебера, точка, минимизирующая сумму расстояний до более чем трех заданных точек.
Теорема Лестера
Центр треугольника
очки Наполеона
задача Вебера

Ссылки

^ Разрежьте узел - Точка Ферма и обобщения
^ Кимберлинг, Кларк (1994). «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Журнал «Математика» . 67 (3): 163–187. дои : 10.1080/0025570X.1994.11996210 . JSTOR 2690608 . МР 1573021 . См. X ₁₃ , с. 174.
↑ Запись X (13) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.
↑ Запись X (14) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.
↑ Запись X (15) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.
↑ Запись X (16) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.
^ Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» .
^ Кристофер Дж. Брэдли и Джефф К. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Точки Ферма» . Математический мир .

Внешние ссылки

«Задача Ферма-Торричелли» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Точка Ферма» , Крис Баучер, Демонстрационный проект Вольфрама .
Обобщение Ферма-Торричелли в эскизах динамической геометрии. Интерактивный эскиз обобщает точку Ферма-Торричелли.
Практический пример точки Ферма

[1] Разрежьте узел - Точка Ферма и обобщения

[2] Кимберлинг, Кларк (1994). «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Журнал «Математика» . 67 (3): 163–187. дои : 10.1080/0025570X.1994.11996210 . JSTOR 2690608 . МР 1573021 . См. X ₁₃ , с. 174.

[3] Запись X (13) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.

[4] Запись X (14) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.

[5] Запись X (15) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.

[6] Запись X (16) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г., в Wayback Machine.

[ETC-7] Кимберлинг, Кларк. «Энциклопедия центров треугольников» .

[Bradley-8] Кристофер Дж. Брэдли и Джефф К. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html

[9] Вайсштейн, Эрик В. «Точки Ферма» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]