Педаль треугольник

В плоской геометрии педальный треугольник получается проецированием точки на стороны треугольника .

Более конкретно, рассмотрим треугольник $△ ABC$ и точку $P$ , которая не является одной из вершин $A, B,$ C. Опустите перпендикуляры из $P$ к трем сторонам треугольника (возможно, их придется создать, т. е. продлить ). Обозначьте $L, M, N$ пересечения AB прямых из $P$ со сторонами $BC, AC,$ . Тогда треугольник педали будет $△ LMN$ .

Если $△ ABC$ не тупоугольный треугольник , а $P$ — ортоцентр , то углы $△ LMN$ равны $180° — 2 A$ , $— 2 B$ и $180° — 2 C.$ 180 ° ^[1]

Расположение выбранной точки $P$ относительно выбранного треугольника $△ ABC$ приводит к некоторым частным случаям:

Если $P$ — ортоцентр , то $△ LMN$ — ортогональный треугольник .
Если $P$ — центр , то $△ LMN$ — треугольник касания .
Если $P$ — центр описанной окружности , то $△ LMN$ — средний треугольник .
Если $P$ находится на описанной окружности треугольника, $△ LMN$ схлопывается до линии ( линии педали или линии Симсона ).

Вершины педального треугольника внутренней точки $P$ , как показано на верхней диаграмме, делят стороны исходного треугольника таким образом, чтобы удовлетворить теорему Карно : ^[2]

|AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.

Трилинейные координаты [ править ]

Если $P$ имеет трилинейные координаты $p : q : r$ , то вершины $L, M, N$ педального треугольника $P$ задаются формулой

{\begin{array}{ccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}

Противопедальный треугольник [ править ]

Одна вершина $L'$ антипедального треугольника P $проходящего$ является точкой пересечения перпендикуляра к $BP,$ через $B$ , и перпендикуляра к $CP,$ через $C.$ проходящего Остальные его вершины $M'$ и $N'$ строятся аналогично. Трилинейные координаты задаются формулой

{\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}

Например, эксцентральный треугольник является антипедальным треугольником инцентра.

Предположим, что $P$ не лежит ни на одной из расширенных сторон $BC, CA, AB$ и пусть $P -1$ обозначим изогонально сопряженное $P$ . Педальный треугольник $P$ гомотетичен P. антипедальному $треугольнику -1$ . Гомотетический центр (который является центром треугольника тогда и только тогда, когда $P$ является центром треугольника) - это точка, заданная в трилинейных координатах формулой

ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)

Произведение площадей педального треугольника $P$ и антипедального треугольника $P -1$ равен квадрату площади $△ ABC$ .

Педальный круг [ править ]

Окружность педали определяется как описанная окружность треугольника педали. Обратите внимание, что окружность педали не определена для точек, лежащих на описанной окружности треугольника.

Педальный круг из изогональных сопряжений [ править ]

Для любой точки $Р,$ не лежащей на описанной окружности треугольника, известно, что $Р$ и ее изогонально-сопряженная $Р*$ имеют общую педальную окружность, центром которой является середина этих двух точек. ^[3]

Ссылки [ править ]

^ «Тригонометрия/Круги и треугольники/Педальный треугольник — Wikibooks, открытые книги для открытого мира» . ru.wikibooks.org . Проверено 31 октября 2020 г.
^ Альфред С. Посаментье ; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи по геометрии . Нью-Йорк: Дувр. стр. 85-86 . ISBN 9780486134864 . OCLC 829151719 .
^ Хонсбергер, Росс (1 января 1995 г.). Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-951-3 .

Внешние ссылки [ править ]

Mathworld: Треугольник педали
Симсон Лайн
Треугольник педали и изогональное сопряжение
Треугольник педали и круг педали — интерактивная иллюстрация

[1] «Тригонометрия/Круги и треугольники/Педальный треугольник — Wikibooks, открытые книги для открытого мира» . ru.wikibooks.org . Проверено 31 октября 2020 г.

[2] Альфред С. Посаментье ; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи по геометрии . Нью-Йорк: Дувр. стр. 85-86 . ISBN 9780486134864 . OCLC 829151719 .

[3] Хонсбергер, Росс (1 января 1995 г.). Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-951-3 .

[1]

[2]

[3]