Линия Симсона

В геометрии для треугольника $ABC$ и точки $P$ на описанной вокруг него окружности три ближайшие к $P$ точки на линиях $AB$ , $AC$ и $BC$ лежат на одной прямой . ^[1] Линия, проходящая через эти точки, — это линия Симсона линии $P$ , названная в честь Роберта Симсона . ^[2] Однако впервые эта концепция была опубликована Уильямом Уоллесом в 1799 году. ^[3] и иногда называется линией Уоллеса . ^[4]

Обратное ; также верно если три ближайшие к $P$ точки на трех прямых лежат на одной прямой и никакие две прямые не параллельны, то $P$ лежит на описанной окружности треугольника, образованного тремя прямыми. Или, другими словами, линия Симсона треугольника $ABC$ и точки $P$ — это всего лишь педальный треугольник ABC $,$ и $P$ который выродился в прямую линию, и это условие заставляет геометрическое P место $проследить$ описанную окружность треугольника $ABC$ .

Уравнение [ править ]

Помещая треугольник в комплексную плоскость, пусть треугольник $ABC$ с единичной описанной окружностью имеет вершины, местоположения которых имеют комплексные координаты $a$ , $b$ , $c$ , и пусть P с комплексными координатами $p$ является точкой на описанной окружности. Линия Симсона — это набор точек $z,$ удовлетворяющих ^[5]^{: Предложение 4}

2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,

где черта указывает на комплексное сопряжение .

Свойства [ править ]

Линии Симсона (красные) являются касательными к дельтовидной мышце Штайнера (синий цвет).

Линия Симсона вершины треугольника — это высота треугольника, опущенная из этой вершины, а линия Симсона точки, диаметрально противоположной вершине, — это сторона треугольника, противоположная этой вершине.
Если $P$ и $Q$ — точки на описанной окружности, то угол между линиями Симсона $P$ и $Q$ равен половине угла дуги $PQ$ . В частности, если точки диаметрально противоположны, их линии Симсона перпендикулярны и в этом случае пересечение линий лежит на девятиточечной окружности .
Обозначая $H$ ортоцентр . треугольника $ABC$ , линия Симсона треугольника $P$ делит пополам отрезок $PH$ в точке, лежащей на окружности из девяти точек
Учитывая два треугольника с одинаковой описанной окружностью, угол между линиями Симсона точки $P$ на описанной окружности для обоих треугольников не зависит от $P$ .
Набор всех линий Симсона при рисовании образует огибающую в форме дельтоиды, известной как дельтоида Штейнера опорного треугольника.
Построение линии Симсона, совпадающей со стороной опорного треугольника (см. первое свойство выше), дает нетривиальную точку на этой боковой линии. Эта точка является отражением подошвы высоты (опущенной на боковую линию) относительно середины строящейся боковой линии. Кроме того, эта точка является точкой касания между стороной опорного треугольника и его дельтоидой Штейнера.
Четырехугольник , не являющийся параллелограммом, имеет одну и только одну педальную точку, называемую точкой Симсона, относительно которой ступни четырехугольника лежат на одной прямой. ^[6] Точка Симсона трапеции — это точка пересечения двух непараллельных сторон. ^[7]^{: с. 186}
Ни один выпуклый многоугольник , имеющий хотя бы 5 сторон, не имеет линии Симсона. ^[8]

Доказательство существования [ править ]

Достаточно показать, что $\angle NMP+\angle PML=180^{\circ }$ .

$PCAB$ является вписанным четырехугольником, поэтому $\angle PBA+\angle ACP=\angle PBN+\angle ACP=180^{\circ }$ . $PMNB$ является вписанным четырехугольником (поскольку $\angle PMB=\angle PNB=90^{\circ }$ ), так $\angle PBN+\angle NMP=180^{\circ }$ . Следовательно $\angle NMP=\angle ACP$ . Сейчас $PLCM$ является циклическим, поэтому $\angle PML=\angle PCL=180^{\circ }-\angle ACP$ .

Поэтому $\angle NMP+\angle PML=\angle ACP+(180^{\circ }-\angle ACP)=180^{\circ }$ .

Обобщения [ править ]

Обобщение 1 [ править ]

Пусть ABC — треугольник, пусть прямая ℓ проходит через центр описанной окружности O и точка P лежит на описанной окружности. Пусть AP, BP, CP пересекаются с ℓ в точках , _Ap Bp _, Cp _{соответственно} . Пусть A ₀ , B ₀ , C ₀ — проекции A _p , B _p , C _p на BC, CA, AB соответственно. Тогда A0 _одной , B0 _, лежат C0 _на прямой. При этом новая линия проходит через середину PH , где H — ортоцентр ΔABC . Если ℓ проходит через P , линия совпадает с линией Симсона. ^[9]^[10]^[11]

Обобщение 2 [ править ]

Пусть вершины треугольника ABC лежат на конике Γ и Q, P — две точки плоскости. Пусть PA, PB, PC конику в A1 _точках , B1 _{соответственно} , C1 _{пересекают} . QA ₁ пересекает BC в точке A ₂ , QB ₁ пересекает AC в точке B ₂ , а QC ₁ пересекает AB в точке C ₂ . Тогда четыре точки A2 _{прямой ,} , B2 _и , C2 _{лежат на} P одной если только точка Q лежит на конике Γ. ^[12]

Обобщение 3 [ править ]

RF Cyster обобщил теорему на циклические четырехугольники в книге «Линии Симсона циклического четырехугольника».

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ HSM Coxeter и SL Greitzer, Возвращение к геометрии , Math. доц. Америка, 1967: стр.41.
^ «История Гибсона 7 — Роберт Симсон» . MacTutor Архив истории математики . 30 января 2008 г.
^ «Уильям Уоллес» . MacTutor Архив истории математики .
^ Клоусон, JW (1919). «Теорема геометрии треугольника». Американский математический ежемесячник . 26 (2): 59–62. JSTOR 2973140 .
^ Тодор Захаринов, «Треугольник Симсона и его свойства», Forum Geometricorum 17 (2017), 373–381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
^ Даниэла Феррарелло, Мария Флавия Маммана и Марио Пенниси, «Многоугольники педалей», Forum Geometricorum 13 (2013) 153–164: Теорема 4.
^ Ольга Радко и Эммануэль Цукерман, «Построение перпендикулярной биссектрисы, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника», Forum Geometricorum 12 (2012). [1]
^ Цукерман, Эммануэль (2013). «О многоугольниках, допускающих линию Симсона как дискретный аналог параболы» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 197–208.
^ «Обобщение линии Симсона» . Разрезать узел. Апрель 2015.
^ Нгуен Ван Линь (2016), «Еще одно синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о линиях» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 57–61
^ Нгуен Ле Фуок и Нгуен Чуонг Чи (2016). 100.24 Синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о прямой. Математический вестник, 100, стр. 341–345. doi:10.1017/mag.2016.77. Математический вестник
^ Смит, Джефф (2015), «99,20 Проективная линия Симсона» , The Mathematical Gazette , 99 (545): 339–341, doi : 10.1017/mag.2015.47 , S2CID 124965348

Внешние ссылки [ править ]

Simson Line на сайте Cut-the-Knot .org
ФМ Джексон и Вайсштейн, Эрик В. «Линия Симсона» . Математический мир .
Обобщение теоремы Нойберга и линии Симсона-Уоллеса в геометрии «Эскизы динамической геометрии». интерактивном эскизе динамической
Линия Симсона на geogebra.org (интерактивная иллюстрация)
Линия Симсона в Interactive Geometry

[1] HSM Coxeter и SL Greitzer, Возвращение к геометрии , Math. доц. Америка, 1967: стр.41.

[2] «История Гибсона 7 — Роберт Симсон» . MacTutor Архив истории математики . 30 января 2008 г.

[3] «Уильям Уоллес» . MacTutor Архив истории математики .

[4] Клоусон, JW (1919). «Теорема геометрии треугольника». Американский математический ежемесячник . 26 (2): 59–62. JSTOR 2973140 .

[TZ-5] Тодор Захаринов, «Треугольник Симсона и его свойства», Forum Geometricorum 17 (2017), 373–381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf

[6] Даниэла Феррарелло, Мария Флавия Маммана и Марио Пенниси, «Многоугольники педалей», Forum Geometricorum 13 (2013) 153–164: Теорема 4.

[7] Ольга Радко и Эммануэль Цукерман, «Построение перпендикулярной биссектрисы, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника», Forum Geometricorum 12 (2012). [1]

[8] Цукерман, Эммануэль (2013). «О многоугольниках, допускающих линию Симсона как дискретный аналог параболы» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 197–208.

[9] «Обобщение линии Симсона» . Разрезать узел. Апрель 2015.

[10] Нгуен Ван Линь (2016), «Еще одно синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о линиях» (PDF) , Forum Geometricorum , 16 : 57–61

[NguyenLePhuocandNguyenChuongChi-11] Нгуен Ле Фуок и Нгуен Чуонг Чи (2016). 100.24 Синтетическое доказательство обобщения Дао теоремы Симсона о прямой. Математический вестник, 100, стр. 341–345. doi:10.1017/mag.2016.77. Математический вестник

[12] Смит, Джефф (2015), «99,20 Проективная линия Симсона» , The Mathematical Gazette , 99 (545): 339–341, doi : 10.1017/mag.2015.47 , S2CID 124965348

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]