Дельтовидная кривая

  Фиксированный внешний круг

  Катящийся круг (1/3 радиуса внешнего круга)

  Дельтовидная кривая, образованная путем отслеживания окружной точки на катящемся круге.

В геометрии , дельтовидная кривая также известная как трикуспидная кривая или кривая Штейнера , представляет собой гипоциклоиду с тремя выступами . Другими словами, это рулетка, созданная точкой на окружности круга, катящейся без скольжения по внутренней части круга, радиус которого в три или полтора раза больше ее радиуса . Он назван в честь заглавной греческой буквы дельта (Δ), на которую он похож.

В более широком смысле, дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми снаружи, что делает внутренние точки невыпуклым множеством .

Уравнения

Гипоциклоиду можно представить (с точностью до вращения и перемещения ) следующими параметрическими уравнениями

$x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,$

$y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,$

где a — радиус катящегося круга, b — радиус круга, внутри которого катится вышеупомянутый круг, а t колеблется от нуля до 6 π . (На иллюстрации выше b = 3a, обозначающей дельтовидную мышцу.)

В комплексных координатах это становится

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}$.

Переменную t можно исключить из этих уравнений, чтобы получить декартово уравнение

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,$

поэтому дельтоида представляет собой плоскую алгебраическую кривую четвертой степени. В полярных координатах это становится

$r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.$

Кривая имеет три особенности, точки возврата соответствуют $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$. Приведенная выше параметризация подразумевает, что кривая рациональна, что означает, что она имеет нулевой род .

Сегмент прямой может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательным к дельтовидной мышце. Точка касания дважды обходит дельтовидную мышцу, а каждый конец - один раз.

Двойная кривая дельтовидной мышцы – это

$x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,$

которая имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения графика путем воображаемого поворота y ↦ iy, что дает кривую

$x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,$

с двойной точкой в ​​начале реальной плоскости.

Площадь и периметр

Площадь дельтовидной мышцы составляет $2\pi a^{2}$ где опять-таки а — радиус круга качения; таким образом, площадь дельтовидной мышцы вдвое больше площади катящегося круга.

Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы составляет 16 а .

История

Обычные циклоиды изучались Галилео Галилеем и Марином Мерсенном еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые придуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы зубьев шестерен. Леонард Эйлер утверждает, что впервые рассмотрел настоящую дельтовидную мышцу в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Приложения

Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например:

• Множество комплексных собственных значений унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Сечение набора унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группе SU (3), образует дельтоид.
• Пересечение двух дельтоидов параметризует семейство комплексных матриц Адамара шестого порядка.
• Совокупность всех линий Симсона данного треугольника образует огибающую в форме дельтоида. Это известно как дельтоида Штайнера или гипоциклоида Штайнера в честь Якоба Штайнера, который описал форму и симметрию кривой в 1856 году.
• Огибающей является дельтоида ( в площадей биссектрис треугольника широком смысле , определенном выше) с вершинами в серединах медиан . Стороны дельтовидной мышцы представляют собой дуги гипербол , асимптотические сторонам треугольника. [1]
• Дельтовидная мышца была предложена как решение проблемы иглы Какеи .

См. также

• Астроида , кривая с четырьмя точками возврата.
• Круглый роговой треугольник , кривая с тремя выступами, образованная дугами окружностей.
• Идеальный треугольник — кривая с тремя вершинами, образованная гиперболическими линиями.
• Псевдотреугольник , трехлучевая область между тремя касательными выпуклыми множествами.
• Пара Туси , двустворчатая рулетка
• Кайт (геометрия) , также называемый дельтовидной мышцей

Ссылки

• Э. Х. Локвуд (1961). «Глава 8: Дельтовидная мышца». Книга кривых . Издательство Кембриджского университета.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 131–134 . ISBN  0-486-60288-5 .
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 52 . ISBN  0-14-011813-6 .
• «Трикуспид» в Индексе знаменитых кривых MacTutor
• «Дельтоид» в MathCurve
• Соколов, Д.Д. (2001) [1994], «Кривая Штейнера» , Математическая энциклопедия , EMS Press