Унистохастическая матрица

В математике ( унистохастическая матрица также называемая унитарно-стохастической ) — это дважды стохастическая матрица , элементы которой представляют собой квадраты абсолютных значений элементов некоторой унитарной матрицы .

Квадратная матрица B размера n является дважды стохастической (или бистохастической ), если все ее элементы являются неотрицательными действительными числами , а сумма каждой строки и столбца равна 1. Она унистохастична, если существует унитарная матрица U такая, что

B_{ij}=|U_{ij}|^{2}{\text{ for }}i,j=1,\dots ,n.\,

Это определение аналогично определению ортостохастической матрицы , которая является дважды стохастической матрицей, элементы которой являются квадратами элементов некоторой ортогональной матрицы . Поскольку все ортогональные матрицы обязательно являются унитарными, все ортостохастические матрицы также унистохастические. Обратное, однако, неверно. Во-первых, все дважды стохастические матрицы 2х2 являются одновременно унистохастическими и ортостохастическими , но для больших n это не так. Например, возьмите $n=3$ и рассмотрим следующую дважды стохастическую матрицу:

B={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}.

Эта матрица не является унистохастической, поскольку любые два вектора с модулями, равными квадратному корню из элементов двух столбцов (или строк) матрицы B , не могут быть сделаны ортогональными путем подходящего выбора фаз. Для ${\textstyle n>2}$ , набор ортостохастических матриц является собственным подмножеством множества унистохастических матриц.

набор унистохастических матриц содержит все матрицы перестановок , а его выпуклая оболочка является многогранником Биркгофа всех дважды стохастических матриц.
для $n\geq 3$ это множество не выпуклое
для $n=3$ множество неравенств треугольника на модулях ряда является достаточным и необходимым условием унистокастичности ^{[ 1 ]}
для $n=3$ набор унистохастических матриц принимает форму центросимметричной матрицы , а унистохастичность любой бистохастической матрицы B подразумевается неотрицательным значением ее инварианта Ярлского ^{[ 2 ]}
для $n=3$ относительный объем множества унистохастических матриц относительно многогранника Биркгофа дважды стохастических матриц равен ^{[ 3 ]} $8\pi ^{2}/105\approx 75.2\%$
для $n=4$ явные условия унистохастичности пока неизвестны, но существует численный метод проверки унистохастичности, основанный на алгоритме Хаагерупа. ^{[ 4 ]}
Теорема Шура -Хорна эквивалентна следующему свойству «слабой выпуклости» множества ${\mathcal {U}}_{n}$ унистохастического $n\times n$ матрицы: для любого вектора $v\in \mathbb {R} ^{n}$ набор ${\mathcal {U}}_{n}v$ - выпуклая оболочка множества векторов, полученная всеми перестановками элементов вектора $v$ (многогранник перестановок, порожденный вектором $v$ ).
Набор $n\times n$ унистохастические матрицы ${\mathcal {U}}_{n}\subset \mathbb {R} ^{(n-1)^{2}}$ имеет непустую внутреннюю часть. Унистохастическая матрица, соответствующая унитарному $n\times n$ матрица с записями $U_{ij}=\delta _{ij}+{\frac {\theta -1}{n}}$ , где $|\theta |=1$ и $\theta \neq \pm 1$ , является внутренней точкой ${\mathcal {U}}_{n}$ .

Ссылки

^ Федулло, А. (1 декабря 1992 г.). «О существовании модели гильбертова пространства для конечнозначных наблюдаемых». Иль Нуово Чименто Б. 107 (12). Спрингер: 1413–1426 гг. дои : 10.1007/BF02722852 . ISSN 1826-9877 .
^ Ярлског, К. (2 сентября 1985 г.). «Коммутатор массовых матриц кварков в стандартной электрослабой модели и мера максимального CP-несохранения». Письма о физических отзывах . 55 (10). Американское физическое общество (APS): 1039–1042. дои : 10.1103/physrevlett.55.1039 . ISSN 0031-9007 .
^ Данкл, Чарльз; Жичковски, Кароль (2009). «Объем множества унистохастических матриц третьего порядка и средний инвариант Ярлскога». Журнал математической физики . 50 (12). Издательство AIP: 123521. arXiv : 0909.0116 . дои : 10.1063/1.3272543 . ISSN 0022-2488 .
^ Райчел, Гжегож; Гонсиоровски, Адам; Жичковски, Кароль (19 сентября 2018 г.). «Надежные матрицы Адамара, унистохастические лучи в многограннике Биркгофа и равнозапутанные базисы в составных пространствах» . Математика в информатике . 12 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 473–490. arXiv : 1804.10715 . дои : 10.1007/s11786-018-0384-y . ISSN 1661-8270 .

Бенгтссон, Ингемар; Эрикссон, Оса; Кусь, Марек; Тадей, Войцех; Жичковски, Карол (2005), «Многогранник Биркгофа и унистохастические матрицы, N = 3 и N = 4», Communications in Mathematical Physics , 259 (2): 307–324, arXiv : math/0402325 , Bibcode : 2005CMaPh.259.. 307Б , дои : 10.1007/s00220-005-1392-8 .
Бенгтссон, Ингемар (11 марта 2004 г.). «Важность быть унистохастическим». arXiv : Quant-ph/0403088 .
Карабегов, Александр (14 июня 2008 г.). «Отображение унитарных матриц и символов в дважды стохастические на конечном множестве». arXiv : 0806.2357 .

[1] Федулло, А. (1 декабря 1992 г.). «О существовании модели гильбертова пространства для конечнозначных наблюдаемых». Иль Нуово Чименто Б. 107 (12). Спрингер: 1413–1426 гг. дои : 10.1007/BF02722852 . ISSN 1826-9877 .

[2] Ярлског, К. (2 сентября 1985 г.). «Коммутатор массовых матриц кварков в стандартной электрослабой модели и мера максимального CP-несохранения». Письма о физических отзывах . 55 (10). Американское физическое общество (APS): 1039–1042. дои : 10.1103/physrevlett.55.1039 . ISSN 0031-9007 .

[3] Данкл, Чарльз; Жичковски, Кароль (2009). «Объем множества унистохастических матриц третьего порядка и средний инвариант Ярлскога». Журнал математической физики . 50 (12). Издательство AIP: 123521. arXiv : 0909.0116 . дои : 10.1063/1.3272543 . ISSN 0022-2488 .

[4] Райчел, Гжегож; Гонсиоровски, Адам; Жичковски, Кароль (19 сентября 2018 г.). «Надежные матрицы Адамара, унистохастические лучи в многограннике Биркгофа и равнозапутанные базисы в составных пространствах» . Математика в информатике . 12 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 473–490. arXiv : 1804.10715 . дои : 10.1007/s11786-018-0384-y . ISSN 1661-8270 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]