Круглый треугольник

В геометрии круговой треугольник — это треугольник с дугообразными краями .

Примеры [ править ]

Пересечение трех дисков

Круглый роговой треугольник

Треугольник Рело

Арбелос

Пересечение трех круглых дисков образует выпуклый круговой треугольник. Например, треугольник Рело является частным случаем этой конструкции, где три диска центрированы в вершинах равностороннего треугольника с радиусом, равным длине стороны треугольника. Однако не каждый выпуклый круговой треугольник образуется таким образом как пересечение дисков.

Круглый роговой треугольник имеет все внутренние углы, равные нулю. ^[1] Один из способов формирования некоторых из этих треугольников — поместить попарно три круга, внешне касающихся друг друга; тогда центральная треугольная область, окруженная этими кругами, представляет собой роговой треугольник. Однако другие роговые треугольники, такие как арбелос (с тремя коллинеарными вершинами и тремя полукругами в качестве сторон), являются внутренними по отношению к одному из трех касательных кругов, образующих его, а не внешними по отношению ко всем трем. ^[2]

Кардиоидный круговой треугольник , найденный Роджером Джозефом Босковичем, имеет три вершины, равномерно расположенные на линии, два равных полукруга на одной стороне линии и третий полукруг с удвоенным радиусом на другой стороне линии. Две внешние вершины имеют внутренний угол $\pi$ а средняя вершина имеет внутренний угол $2\pi$ . У него есть любопытное свойство: все линии, проходящие через среднюю вершину, делят его периметр пополам. ^[3]

Другие круговые треугольники могут иметь смесь выпуклых и вогнутых краев дуги окружности.

Характеристика углов [ править ]

Три заданных угла $\theta _{1}$ , $\theta _{2}$ , и $\theta _{3}$ в интервале $[0,2\pi ]$ образуют внутренние углы кругового треугольника (без самопересечений) тогда и только тогда, когда они подчиняются системе неравенств

{\begin{aligned}-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{1}+\theta _{3}-\theta _{2}<2\pi \\-2\pi &<\theta _{2}+\theta _{3}-\theta _{1}<2\pi .\end{aligned}}

Все круговые треугольники с одинаковыми внутренними углами эквивалентны друг другу относительно преобразований Мёбиуса . ^[4]

Изопериметрия [ править ]

Круглые треугольники дают решение изопериметрической задачи , в которой ищут кривую минимальной длины, охватывающую три заданные точки и имеющую заданную площадь. Если площадь не меньше окружности, описанной в точках, решением является любой круг этой области, окружающий точки. Для меньших площадей оптимальной кривой будет круговой треугольник с тремя вершинами в качестве вершин и с дугами окружностей одинакового радиуса в качестве сторон вплоть до области, в которой один из трех внутренних углов такого треугольника достигает нуля. Ниже этой области кривая вырождается в круглый треугольник с «усиками», прямыми сегментами, идущими от его вершин до одной или нескольких указанных точек. В пределе, когда площадь стремится к нулю, круговой треугольник сжимается к точке Ферма данных трех точек. ^[5]

См. также [ править ]

Круг Харта — круг, связанный с определенными круглыми треугольниками.
Гиперболический треугольник — треугольник, который имеет прямые стороны в гиперболической геометрии, но в некоторых моделях гиперболической геометрии рисуется как круговой.
Луна и Линза , двусторонние фигуры, ограниченные дугами окружностей.
Трилистник — круглый треугольник, выпирающий наружу из трех вершин, используемый в архитектуре.

Ссылки [ править ]

^ Каснер, Эдвард ; Калиш, Аида (1944), «Геометрия круглого рогового треугольника», National Mathematics Magazine , 18 : 299–304, doi : 10.2307/3030080 , JSTOR 3030080 , MR 0010442
^ Боас, Гарольд П. (2006), «Размышления об арбелах» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (3): 236–249, doi : 10.2307/27641891 , JSTOR 27641891 , MR 2204487 .
^ Банчофф, Томас ; Гиблин, Питер (1994), «О геометрии кусочно-круговых кривых», The American Mathematical Monthly , 101 (5): 403–416, doi : 10.2307/2974900 , JSTOR 2974900 , MR 1272938
^ Эппштейн, Дэвид ; Фришберг, Дэниел; Осегеда, Марта К. (июнь 2023 г.), «Углы дугообразных многоугольников и рисунки кактусов Ломбарди», Computational Geometry , 112 : 101982, arXiv : 2107.03615 , doi : 10.1016/j.comgeo.2023.101982
^ Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 378–379.

[1] Каснер, Эдвард ; Калиш, Аида (1944), «Геометрия круглого рогового треугольника», National Mathematics Magazine , 18 : 299–304, doi : 10.2307/3030080 , JSTOR 3030080 , MR 0010442

[2] Боас, Гарольд П. (2006), «Размышления об арбелах» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (3): 236–249, doi : 10.2307/27641891 , JSTOR 27641891 , MR 2204487 .

[3] Банчофф, Томас ; Гиблин, Питер (1994), «О геометрии кусочно-круговых кривых», The American Mathematical Monthly , 101 (5): 403–416, doi : 10.2307/2974900 , JSTOR 2974900 , MR 1272938

[4] Эппштейн, Дэвид ; Фришберг, Дэниел; Осегеда, Марта К. (июнь 2023 г.), «Углы дугообразных многоугольников и рисунки кактусов Ломбарди», Computational Geometry , 112 : 101982, arXiv : 2107.03615 , doi : 10.1016/j.comgeo.2023.101982

[5] Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 378–379.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]