Педальный круг

$\triangle ABC$ с боками $a,b,c$ и точка $P$
футы перпендикуляра: $P_{a},P_{b},P_{c}$
центр описанной окружности: $O$
зеленые сегменты используются в формуле радиуса

$\triangle ABC$ с изогональными сопряжениями $P$ и $Q$
6 футов на педальном круге: $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{b},Q_{c}$
центр педального круга и середина $PQ$: $M$
биссектрисы угла: $w_{a},w_{b},w_{c}$

4 балла $A,B,C,D$ и 4 педальных круга, пересекающихся в $S$

Педальный круг треугольника $ABC$ и точка $P$ на плоскости есть особый круг, определяемый этими двумя сущностями. Точнее, для трех перпендикуляров, проходящих через точку $P$ на три (расширенные) стороны треугольника $a,b,c$ вы получаете три точки пересечения $P_{a},P_{b},P_{c}$ и круг, определяемый этими тремя точками, является кругом педали. По определению окружность педали — это описанная окружность треугольника педали .

Для радиуса $r$ педального круга справедлива следующая формула $R$ являющийся радиусом и $O$ являющийся центром описанной окружности:

$r={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}$

Обратите внимание, что знаменатель в формуле обращается в 0, если точка $P$ лежит на описанной окружности. В этом случае три точки $P_{a},P_{b},P_{c}$ определить вырожденную окружность бесконечного радиуса, то есть линию. Это линия Симсона . Если $P$ — это центр треугольника, тогда окружность педали — это вписанная окружность треугольника, и если $P$ — ортоцентр треугольника, педальный круг — это девятиточечный круг .

Если $P$ не лежит на описанной окружности, то ее изогонально сопряженная окружность $Q$ дает тот же педальный круг, то есть шесть точек $P_{a},P_{b},P_{c}$ и $Q_{a},Q_{b},Q_{c}$ лежат в одном круге. При этом середина отрезка $PQ$ является центром этого педального круга.

Теорема Гриффитса утверждает, что все педальные окружности для точек, расположенных на линии, проходящей через центр описанной окружности треугольника, имеют общую (фиксированную) точку.

Рассмотрим четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Затем вы можете построить четыре разных подмножества по три точки. Точки такого подмножества примем за вершины треугольника $ABC$ и четвертая точка как точка $P$, то они определяют педальный круг. Четыре педальных круга, которые вы получите таким образом, пересекаются в одной точке.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с педальным кругом, на Викискладе?
• Педальный круг изогональных сопряжений - интерактивная иллюстрация в GeoGebra
• Треугольник педали и круг педали — интерактивная иллюстрация