Брокарские швы

В геометрии — точки Брокара это особые точки внутри треугольника . Они названы в честь Анри Брокара (1845–1922), французского математика.

Определение

В треугольнике $△ ABC$ со сторонами $a, b, c$ , где вершины обозначены $A, B, C$ в порядке против часовой стрелки, существует ровно одна точка $P$ такая, что отрезки $AP, BP, CP$ образуют один и тот же угол $ω$ , с соответствующими сторонами $c, a, b$ , а именно, что

$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega .\,$

Точка $P$ называется первой точкой Брокара треугольника $△ ABC$ , а угол $ω$ называется углом Брокара треугольника. Этот угол обладает тем свойством, что

$\cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle BCA{\bigr )}.$

Существует также вторая точка Брокара Q $такая ,$ в треугольнике $△ ABC$ что отрезки $AQ, BQ, CQ$ образуют равные углы со сторонами $b, c, a$ соответственно. Другими словами, уравнения $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ применять. Примечательно, что эта вторая точка Брокара имеет тот же угол Брокара, что и первая точка Брокара. Другими словами, угол $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ то же самое, что $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.$

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом; на самом деле разница между первым и вторым зависит от порядка $углов треугольника △ ABC$ взятия . Так, например, первая точка Брокара $△ ABC$ такая же, как вторая точка Брокара $△ ACB$ .

Две точки Брокара треугольника $△ ABC$ друг изогонально сопряжены другу.

Строительство

Наиболее элегантная конструкция точек Брокара выглядит следующим образом. В следующем примере представлена первая точка Брокара, но конструкция второй точки Брокара очень похожа.

Как и на схеме выше, сформируйте круг через точки $A$ и $B$ , касательный к ребру $BC$ треугольника (центр этого круга находится в точке, где серединный перпендикуляр к $AB$ пересекает линию, проходящую через точку $B$ , перпендикулярную $BC$ ). . Симметрично сформируйте окружность через точки $B$ и $C$ , касательные к ребру $AC$ , и окружность через точки $A$ и $C$ , касающиеся ребра $AB$ . Эти три окружности имеют общую точку — первую точку Брокара $△ ABC$ . См. также Касательные линии к окружностям .

Три только что построенных круга также обозначаются эпициклы △ $как ABC$ . Вторая точка Брокара строится аналогично.

Трилинейки и барицентрики первых двух точек Брокара

Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара: ${\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}$ Таким образом, их барицентрические координаты : ^[1] ${\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}$

Отрезок между первыми двумя точками Брокара

Точки Брокара являются примером бицентрической пары точек, но они не являются центрами треугольников , поскольку ни одна точка Брокара не является инвариантной относительно преобразований подобия : отражение разностороннего треугольника, частного случая подобия, превращает одну точку Брокара в другую. Однако неупорядоченная пара, образованная обеими точками, инвариантна относительно сходства. Средняя точка двух точек Брокара, называемая средней точкой Брокара , имеет трилинейные координаты. ^[2]

$\sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),$ и является центром треугольника; это центр X(39) в Энциклопедии центров треугольников . Третья точка Брокара , заданная в трилинейных координатах как ^[3]

$\csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},$

является средней точкой Брокара антидополнительного треугольника , а также является изотомически сопряженной симмедианной точкой . Это центр X(76) в Энциклопедии центров треугольников .

Расстояние между первыми двумя точками Брокара $P$ и $Q$ всегда меньше или равно половине радиуса $R$ треугольника описанной окружности : ^[1]^[4]

${\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.$

Отрезок между первыми двумя точками Брокара делится перпендикулярно пополам в средней точке Брокара линией, соединяющей центр описанной окружности треугольника и его точку Лемуана . Более того, центр описанной окружности, точка Лемуана и первые две точки Брокара лежат на одной окружности которой составляет отрезок, соединяющий центр описанной окружности и точку Лемуана — все они попадают на одну и ту же окружность, диаметр . ^[1]

Расстояние от центра окружности

Точки Брокара $P$ и $Q$ треугольника равноудалены от центра описанной окружности $O$ : ^[4]

${\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}.$

Сходства и совпадения

Педальные треугольники первой и второй точек Брокара конгруэнтны друг другу и подобны исходному треугольнику. ^[4]

Если прямые $AP, BP, CP$ , каждая из которых проходит через одну из вершин треугольника и его первую точку Брокара, пересекают описанную окружность треугольника в точках $L, M, N$ , то треугольник $△ LMN$ конгруэнтен исходному треугольнику $△ ABC$ . если первую точку Брокара $P$ заменить второй точкой Брокара $Q.$ То же самое верно , ^[4]

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с Скотт, Дж. А. «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
↑ Запись X (39) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 12 апреля 2010 г., в Wayback Machine.
^ Запись X (76) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 12 апреля 2010 г., в Wayback Machine.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик В. «Очки Брокара». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html

Ссылки

Акопян А.В.; Заславский А.А. (2007), Геометрия коник , Математический мир, т. 1, с. 26, Американское математическое общество , стр. 48–52, ISBN. 978-0-8218-4323-9 .
Хонсбергер, Росс (1995), «Глава 10. Точки Брокара», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки .

Внешние ссылки

[Scott-1] Jump up to: ^а ^б ^с Скотт, Дж. А. «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.

[2] Запись X (39) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 12 апреля 2010 г., в Wayback Machine.

[3] Запись X (76) в Энциклопедии центров треугольников. Архивировано 12 апреля 2010 г., в Wayback Machine.

[Weisstein-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик В. «Очки Брокара». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html

[1]

[2]

[3]

[4]