Лемуан-пойнт
В геометрии точка Лемуана , точка Гребе или точка симмедианы — это пересечение трех симмедиан ( медиан, отраженных в соответствующих биссектрисах угла ) треугольника.
Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии». [1]
В Энциклопедии центров треугольников симмедианная точка указана как шестая точка X (6). [2] В случае неравностороннего треугольника он лежит в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в своем центре, и может быть любой точкой в нем. [3]
Симмедиана треугольника с длинами сторон a , b и c имеет однородные трилинейные координаты [ a : b : c ] . [2]
Алгебраический способ найти точку симмедианы состоит в том, чтобы выразить треугольник тремя линейными уравнениями с двумя неизвестными, заданными нормальными формами Гессе соответствующих прямых. Решение этой переопределенной системы, найденное методом наименьших квадратов, дает координаты точки. Также решается задача оптимизации по поиску точки с минимальной суммой квадратов расстояний от сторон.Точка Жергонна треугольника совпадает с симмедианой точкой контактного треугольника . [4]
Симмедиану точки треугольника ABC можно построить следующим образом: пусть касательные описанной окружности ABC, проходящей через B и C, встречаются в точке A' и аналогично определяют B' и C' ; тогда A'B'C' — касательный треугольник к ABC , а прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в симмедианной точке ABC . [а] Можно показать, что эти три линии пересекаются в одной точке, используя теорему Брианшона . Линия AA' проведя круг с центром A' через B и C. является симмедианой, в чем можно убедиться , [ нужна ссылка ]
Французский математик Эмиль Лемуан доказал существование симмедианной точки в 1873 году, а Эрнст Вильгельм Гребе опубликовал о ней статью в 1847 году. Симон Антуан Жан Л'Юилье также отметил эту точку в 1809 году. [1]
Для расширения до неправильного тетраэдра см. симмедиану .
Примечания [ править ]
- ^ Если ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом в точке A, это утверждение необходимо изменить, опустив ссылку на AA', поскольку точка A' не существует.
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Хонсбергер, Росс (1995), «Глава 7: Симмедиановая точка», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Энциклопедия центров треугольников , по состоянию на 6 ноября 2014 г.
- ^ Брэдли, Кристофер Дж.; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников» , Forum Geometricorum , 6 : 57–70 .
- ^ Бебан-Бркич, Ю.; Воленец, В.; Колар-Бегович, З.; Колар-Шупер, Р. (2013), «О точке Жергонна треугольника в изотропной плоскости», Труды Хорватской академии наук и искусств , 17 : 95–106, MR 3100227 .