Гессенская нормальная форма

Расстояние от начала координат O до линии E, рассчитанное с помощью нормальной формы Гессе. Вектор нормали показан красным, линия — зеленым, точка O — синим.

названная Нормальная форма Гессе, в честь Отто Гессе , представляет собой уравнение, используемое в аналитической геометрии и описывает линию в $\mathbb {R} ^{2}$ или плоскость в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ или гиперплоскость в более высоких измерениях. В основном он используется для расчета расстояний (см. Расстояние от точки до плоскости и расстояние от точки до линии ).

В векторной записи это записывается как

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

Точка $\cdot$указывает скалярное произведение или скалярное произведение . Вектор ${\vec {r}}$указывает от начала системы координат O до любой точки P которая лежит точно в плоскости или на прямой E. , Вектор ${\vec {n}}_{0}$представляет собой единичный вектор нормали плоскости или E. линии Расстояние $d\geq 0$ — кратчайшее расстояние от начала координат O до плоскости или линии.

Вывод/расчет из нормальной формы

Примечание. Для простоты в следующем выводе рассматривается трехмерный случай. Однако это также применимо и в 2D.

В нормальной форме,

$({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,$

плоскость задается нормальным вектором ${\vec {n}}$ а также произвольный вектор положения ${\vec {a}}$ точки $A\in E$. Направление ${\vec {n}}$ выбирается так, чтобы удовлетворять следующему неравенству

${\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,$

Разделив вектор нормали ${\vec {n}}$ по своей величине $|{\vec {n}}|$, получим единичный (или нормированный) вектор нормали

${\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,$

и приведенное выше уравнение можно переписать как

$({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,$

Замена

$d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,$

мы получаем нормальную форму Гессе

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

На этой диаграмме d — расстояние от начала координат. Потому что ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d$ справедливо для каждой точки плоскости, это также верно и в точке Q (точка, где вектор из начала координат пересекает плоскость E), причем ${\vec {r}}={\vec {r}}_{s}$, согласно определению скалярного произведения

$d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,$

Величина $|{\vec {r}}_{s}|$ из ${{\vec {r}}_{s}}$ – кратчайшее расстояние от начала координат до плоскости.

Расстояние до линии

Квадранс ( квадрат расстояния) от линии $ax+by+c=0$ в точку $(x,y)$ является

${\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}.$

Если $(a,b)$ имеет единичную длину, тогда это становится $(ax+by+c)^{2}.$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гессенская нормальная форма» . Математический мир .