Расстояние от точки до линии

Расстояние ) (или перпендикулярное расстояние от точки до прямой — это кратчайшее расстояние от фиксированной точки до любой точки на фиксированной бесконечной линии в евклидовой геометрии . Это длина отрезка линии , который соединяет точку с линией и перпендикулярен линии. Формулу его расчета можно вывести и выразить несколькими способами.

Знание кратчайшего расстояния от точки до линии может быть полезно в различных ситуациях — например, при поиске кратчайшего расстояния до дороги, количественной оценке разброса на графике и т. д. В регрессии Деминга — тип аппроксимации линейной кривой, если зависимые и независимые переменные имеют одинаковую дисперсию, что приводит к ортогональной регрессии , в которой степень несовершенства соответствия измеряется для каждой точки данных как перпендикулярное расстояние точки от линии регрессии.

Декартовы координаты

Линия, определяемая уравнением

В случае линии на плоскости, заданной уравнением ax + by + c = 0, где a , b и c — действительные константы, где a и b не равны нулю, расстояние от линии до точки ( x ₀ , у ₀ ) есть

$\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Точка на этой линии, ближайшая к ( x ₀ , y ₀ ), имеет координаты:

$x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.$

Горизонтальные и вертикальные линии

В общем уравнении линии ax + by + c = 0, a и b не могут оба быть равны нулю, если только c также не равно нулю, и в этом случае уравнение не определяет линию. Если a = 0 и b   ≠ 0, линия горизонтальна и имеет уравнение y = - c / b . Расстояние от ( x ₀ , y ₀ ) до этой линии измеряется вдоль вертикального отрезка длины | у ₀ - (- с / б )| = | на ₀ + с | / | б | в соответствии с формулой. Аналогично, для вертикальных линий ( b = 0) расстояние между той же точкой и линией равно | топор ₀ + с | / | a |, измеренная вдоль горизонтального отрезка.

Линия, определяемая двумя точками

Если линия проходит через две точки P ₁ =( x ₁ , y ₁ ) и P ₂ = ( x ₂ , y ₂ ), то расстояние (x ₀ ,y ₀ ) от линии равно:

$\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.$

Знаменателем этого выражения является расстояние между P ₁ и P ₂ . Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами в трех точках (x ₀ ,y ₀ ), P ₁ и P ₂ . См.: Площадь треугольника § Использование координат . Выражение эквивалентно ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$, которую можно получить перестановкой стандартной формулы площади треугольника: ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$, где b — длина стороны, а h — высота перпендикуляра из противоположной вершины.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство справедливо только в том случае, если линия не является ни вертикальной, ни горизонтальной, то есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении прямой не равны нулю.

Линия с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон - a / b , поэтому любая линия, перпендикулярная ей, будет иметь наклон b / a (обратная отрицательная величина). Пусть ( m , n ) будет точкой пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной к ней линии, проходящей через точку ( x ₀ , y ₀ ). Линия, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной линии, поэтому

${\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.$

Таким образом, $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$и возведя это уравнение в квадрат, получим:

$a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).$

Теперь рассмотрим,

$(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})$

используя приведенное выше уравнение в квадрате. Но у нас также есть,

$(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$

поскольку ( m , n ) находится на ax + by + c = 0.Таким образом,

$(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$

и получаем длину отрезка, определяемого этими двумя точками,

$d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Геометрическое доказательство

Схема геометрического доказательства

Это доказательство справедливо только в том случае, если линия не горизонтальна и не вертикальна.

Опустите перпендикуляр из точки P с координатами ( x ₀ , y ₀ ) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначьте основание перпендикуляра R . Проведите вертикальную линию через P отметьте ее пересечение с данной линией S. и В любой точке Т на прямой нарисуйте прямоугольный треугольник TVU , стороны которого представляют собой горизонтальный и вертикальный отрезки с гипотенузой TU на данной прямой и горизонтальной стороной длины | Б | (см. схему). Вертикальная сторона ∆ TVU будет иметь длину | А | так как линия имеет наклон — A / B .

∆ PRS и ∆ TVU — подобные треугольники , поскольку оба они прямоугольные, а ∠ PSR ≅ ∠ TUV, поскольку они являются соответствующими углами трансверсали к параллельным прямым PS и UV (обе вертикальные линии). Соответствующие стороны этих треугольников находятся в одинаковом соотношении, поэтому:

${\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.$

Если точка S имеет координаты ( x ₀ , m ), то | PS | = | у ₀ - м | а расстояние от P до линии равно:

$|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

$m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},$

и наконец получим:

$|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Вариант этого доказательства состоит в том, чтобы поместить V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆ UVT двумя способами, чтобы получить $D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|$где D — высота ∆ UVT, проведенная к гипотенузе ∆ UVT из P . Затем формулу расстояния можно использовать для выражения $|{\overline {TU}}|$, $|{\overline {VU}}|$, и $|{\overline {VT}}|$через координаты Р и коэффициенты уравнения прямой, чтобы получить указанную формулу.

Доказательство векторной проекции

Diagram for vector projection proof

Пусть P — точка с координатами ( x ₀ , y ₀ ) и пусть данная линия имеет уравнение ax + by + c = 0. Также пусть Q = ( x ₁ , y ₁ ) — любая точка на этой прямой n и вектор ( a , b начинающийся в точке Q. ) , Вектор n перпендикулярен прямой, а расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции ${\overrightarrow {QP}}$ на н . Длина этой проекции определяется как:

$d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.$

Сейчас,

${\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),$ так ${\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})$ и $\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

таким образом

$d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Поскольку Q — точка на прямой, $c=-ax_{1}-by_{1}$, и так,

$d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Другая формула

Можно составить другое выражение, чтобы найти кратчайшее расстояние от точки до линии. Этот вывод также требует, чтобы линия не была вертикальной или горизонтальной.

Точка P задана с координатами ( $x_{0},y_{0}$).Уравнение линии имеет вид $y=mx+k$. Задано уравнение нормали той прямой, которая проходит через точку P. $y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$.

Точка пересечения этих двух линий является ближайшей точкой исходной линии к точке P. Следовательно:

$mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.$

Мы можем решить это уравнение относительно x ,

$x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.$

Координату y точки пересечения можно найти, подставив это значение x в уравнение исходной линии:

$y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.$

Используя уравнение для нахождения расстояния между двумя точками, $d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}$, мы можем сделать вывод, что формула для поиска кратчайшего расстояния между линией и точкой выглядит следующим образом:

$d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.$

Вспоминая, что m = - a / b и k = - c / b для линии с уравнением ax + by + c = 0, небольшое алгебраическое упрощение сводит это к стандартному выражению.

Векторная формулировка

Иллюстрация векторной формулировки.

Уравнение прямой можно представить в векторной форме:

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}$

Здесь a — положение точки на прямой, а n — единичный вектор в направлении линии. Тогда, когда скаляр t изменяется, x дает местоположение линии.

Расстояние произвольной точки p до этой линии определяется выражением

$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.$

Эту формулу можно вывести следующим образом: $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ — вектор из p в точку a на прямой. Затем $(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n}$ - это проецируемая длина на линию, и поэтому

$((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

вектор, который проекцией является $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ на линию. Таким образом

$(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

является компонентом $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ перпендикулярно линии. Тогда расстояние от точки до линии будет просто нормой этого вектора. Эта более общая формула не ограничивается двумя измерениями.

Другая векторная формулировка

Если прямая ( l ) проходит через точку A и имеет вектор направления ${\vec {u}}$, расстояние между точкой P и линией ( l ) равно

$d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}$

где ${\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}$ является векторным произведением векторов ${\overrightarrow {\mathrm {AP} }}$ и ${\vec {u}}$ и где $\|{\vec {u}}\|$ векторная норма ${\vec {u}}$.

Обратите внимание, что векторное произведение существует только в измерениях 3 и 7 и тривиально в измерениях 0 и 1 (где векторное произведение равно 0).

См. также

• Гессенская нормальная форма
• Пересечение линии-линии
• Расстояние между двумя линиями
• Расстояние от точки до плоскости
• Наклонные линии#Расстояние

Ссылки

• Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-58742-7
• Баллантайн, JP; Джерберт, А.Р. (1952), «Расстояние от линии или плоскости до точки», American Mathematical Monthly , 59 : 242–243, doi : 10.2307/2306514
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Предварительное исчисление: краткий курс , Houghton Mifflin Co., ISBN  0-618-62719-7
• Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics , Dover Publications, ISBN  0-486-45773-7

Дальнейшее чтение

• Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2013), Энциклопедия расстояний (2-е изд.), Springer, стр. 86, ISBN  9783642309588