Расстояние между двумя параллельными линиями

Расстояние . между двумя параллельными прямыми на плоскости — это минимальное расстояние между любыми двумя точками

Формула и доказательство

Поскольку линии параллельны, расстояние по перпендикуляру между ними является постоянным, поэтому не имеет значения, какая точка выбрана для измерения расстояния. Учитывая уравнения двух невертикальных параллельных прямых

y=mx+b_{1}\,

y=mx+b_{2}\,,

расстояние между двумя линиями - это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикулярной линией

y=-x/m\,.

Это расстояние можно найти, предварительно решив линейные системы

{\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}

и

{\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}

чтобы получить координаты точек пересечения. Решениями линейных систем являются точки

\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,

и

\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.

Расстояние между точками равно

d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,

что сводится к

d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.

Когда строки заданы

ax+by+c_{1}=0\,

ax+by+c_{2}=0,\,

расстояние между ними можно выразить как

d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

См. также

Расстояние от точки до линии

Ссылки

Дистанция : Студент Дуден – Математика II . Библиографический институт Ф.А. Брокгауза, 2004, ISBN 3-411-04275-3 , стр. 17–19 (немецкий)
Хардт Кремер, Рольф Хевельманн, Инго Клемиш: аналитическая геометрия и линейная Akgebra . Дистервег, 1988 г., ISBN 3-425-05301-9 , с. 298 (немецкий)

Внешние ссылки

Флориан Модлер: Векторные произведения, задачи на расстояние, позиционные соотношения, вычисление углов – когда по какой формуле? , стр. 44-59 (немецкий)
Э.Дж. Хобсон: «ТОЛЬКО МАТЕМАТИКА» — БЛОК НОМЕР 8.5 — ВЕКТОРЫ 5 (Векторные уравнения прямых) , стр. 8-9