Медиальный треугольник

В евклидовой геометрии треугольник или треугольник со средней точкой треугольника вершинами $△ ABC$ — это треугольник с средний в серединах сторон треугольника $AB, AC, BC$ . Это $n = 3$ случай многоугольника в средней точке с многоугольника n $сторонами$ . Срединный треугольник — это не то же самое, что срединный треугольник , который представляет собой треугольник, стороны которого имеют ту же длину, что медианы △ $и ABC$ .

Каждая сторона медиального треугольника называется средним сегментом (или средней линией ). В общем, средняя часть треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны.

Характеристики

$M$ : центр окружности $△ ABC$ , ортоцентр $△ DEF.$
$N$ : центр $△ ABC$ , точка Нагеля $△ DEF.$
$S$ : центр тяжести $△ ABC$ и $△ DEF.$

Медиальный треугольник также можно рассматривать как образ треугольника $△ ABC,$ преобразованный гомотетией с центром в центроиде с соотношением -1/2. Таким образом, стороны медиального треугольника половинчаты и параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC. Следовательно, средний треугольник обратно подобен и имеет тот же центр тяжести и медианы, что и треугольник $△ ABC$ . Отсюда также следует, что периметр медиального треугольника равен полупериметру треугольника $△ ABC$ , а площадь равна четверти площади треугольника $△ ABC$ . Более того, все четыре треугольника, на которые исходный треугольник разделен медиальным треугольником, все взаимно конгруэнтны по SSS , поэтому их площади равны, и, таким образом, площадь каждого составляет 1/4 площади исходного треугольника. ^[1]^{: стр.177}

Ортоцентр △ среднего треугольника совпадает с центром окружности треугольника $. ABC$ описанной Этот факт дает инструмент для доказательства коллинеарности центра описанной окружности, центроида и ортоцентра. Медиальный треугольник — это педальный треугольник центра описанной окружности. Окружность девяти точек описывает средний треугольник, поэтому центр девяти точек является центром описанной окружности медиального треугольника.

Точка Нагеля медиального треугольника является центром его опорного треугольника. ^[2]^{: стр.161, Тхм.337}

Средний треугольник опорного треугольника конгруэнтен треугольнику, вершины которого являются средними точками между ортоцентром опорного треугольника и его вершинами. ^[2]^{: стр.103, №206, стр.108, №1}

Центр . треугольника лежит в его медиальном треугольнике ^[3]^{: с.233, Лемма 1}

Точка внутри треугольника является центром эллипса треугольника тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри медиального треугольника. ^[4]^{: стр.139}

Медиальный треугольник — единственный вписанный треугольник , у которого ни один из трех других внутренних треугольников не имеет меньшей площади. ^[5]^{: с. 137}

Исходный треугольник и его средний треугольник являются ортологическими треугольниками .

Координаты

Позволять $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ быть сторонами треугольника $\triangle ABC.$ Трилинейные координаты вершин медиального треугольника $\triangle EFD$ даны

{\begin{alignedat}{3}E&={}\,0&&:{\frac {1}{b}}&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]F&={}{\frac {1}{a}}&&:\,0&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]D&={}{\frac {1}{a}}&&:{\frac {1}{b}}&&:\,0.\end{alignedat}}

Антикомплементарный треугольник

Если $\triangle EFD$ является медиальным треугольником $\triangle ABC,$ затем $\triangle ABC$ антикомплементарный треугольник или антимедиальный треугольник $\triangle EFD.$ Антикомплементарный треугольник $\triangle ABC$ образован тремя линиями, параллельными сторонам $\triangle ABC$ : параллель с $AB$ через $C,$ параллель с $AC$ через $B,$ и параллель с $BC$ через $A.$

Трилинейные координаты вершин треугольника $\triangle E'F'D'$ антидополняющий $\triangle ABC$ даны

{\begin{alignedat}{3}E'&=-{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]F'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:-{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]D'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:-{\frac {1}{c}}.\end{alignedat}}

Название «антикомплементарный треугольник» соответствует тому, что его вершины являются антидополнениями вершин. $A,B,C$ опорного треугольника. Вершины медиального треугольника являются дополнениями $A,B,C.$

См. также

Средний ёж , аналогичная концепция для более общих выпуклых множеств.

Ссылки

^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
^ Jump up to: ^а ^б Альтшиллер-Корт, Натан. Колледжская геометрия . Дуврские публикации, 2007.
^ Францсен, Уильям Н. «Расстояние от центра до линии Эйлера», Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.
^ Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.
^ Торрехон, Рикардо М. «О неравенстве вписанного треугольника Эрдоша», Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

Внешние ссылки

[PL-1] Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

[ac-2] Jump up to: ^а ^б Альтшиллер-Корт, Натан. Колледжская геометрия . Дуврские публикации, 2007.

[Franzsen-3] Францсен, Уильям Н. «Расстояние от центра до линии Эйлера», Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.

[Chakerian-4] Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.

[Torrejon-5] Торрехон, Рикардо М. «О неравенстве вписанного треугольника Эрдоша», Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]