Ежик (геометрия)

Не путать с ёжиком (гиперграфом) или ёжиком-пространством .

Астроида , построенная в виде оболочки из линий. Соответствующая опорная функция находится в диапазоне от минимума 0 для точек на горизонтальной и вертикальной осях до максимума в четырех диагональных точках единичного круга.

Гипоциклоида , образующая самопересекающегося ежа.

В дифференциальной геометрии еж опорной или плоский ёж — это тип плоской кривой , огибающая семейства линий, определяемая функцией . Более интуитивно понятно, что достаточно «хорошие» ежи представляют собой плоские кривые с одной касательной в каждом направлении. Проективный еж — это ограниченный тип ежа, определяемый на основе антисимметричной опорной функции и (опять же, при достаточно хорошем поведении) образует кривую с одной касательной линией в каждом направлении, независимо от ориентации.

Всякая замкнутая строго выпуклая кривая является огибающей ее опорных линий . Астроида . образует невыпуклого ежа, а дельтовидная кривая — проективного ежа

Ежей также можно определить с помощью опорных функций гиперплоскостей в более высоких измерениях.

Определения

Формально плоскую опорную функцию можно определить как непрерывно дифференцируемую функцию. $h$ от единичного круга на плоскости к действительным числам или, что то же самое, как функция $f(\theta )=h{\bigl (}(\cos \theta ,\sin \theta ){\bigr )}$ от углов к действительным числам. Для каждой точки $q$ на единичной окружности он определяет линию, набор точек $p$ для чего $p\cdot q=h(q)$. Эта линия перпендикулярна вектору $q$, проходит через точку $qh(q)$, и находится на расстоянии $|h(q)|$ от происхождения . Опорная функция антисимметрична, если для всех $q$, $h(-q)=-h(q)$или, что то же самое, через углы $f(\theta )=-f(\theta +\pi )$, так что $q$ и $-q$ определяют одну и ту же линию друг с другом.

Учитывая любую вспомогательную функцию $h$, его ёжик обозначается ${\mathcal {H}}_{h}$. С точки зрения функции $f$ и угол $\theta$ он имеет параметрические уравнения

${\begin{aligned}x&=f(\theta )\cos \theta -f'(\theta )\sin \theta \\y&=f(\theta )\sin \theta +f'(\theta )\cos \theta \end{aligned}}$

Еж является неособым, если в каждой его точке имеется касательная. Проективный еж определяется антисимметричной опорной функцией. Ежики также могут быть определены таким же образом в более высоких измерениях, как оболочки гиперплоскостей, определяемые опорными функциями.

Примеры

Опорная функция, описывающая опорные линии выпуклого множества. $K$ определяется $h(q)=\max\{p\cdot q\mid p\in K\}$. Ежиком опорной функции любого строго выпуклого множества является его граница, параметризованная углом опорных линий. Когда выпуклое множество не является строго выпуклым (оно имеет отрезок на своей границе), его опорная функция непрерывна, но не непрерывно дифференцируема, и приведенные выше параметрические уравнения скачкообразно перескакивают через отрезок прямой вместо того, чтобы определять непрерывную кривую, поэтому она не определяется как еж. Астроид представляет собой пример невыпуклого ежа.

Дельтоид . , пример проективного ежа, показывающий сегменты линий, вращающиеся через семейство линий, огибающей которых является дельтоид

Примером проективного ежа, определенного из антисимметричной опорной функции, является дельтовидная кривая . Дельтовидная мышца представляет собой простую замкнутую кривую , но другие ежи могут самопересекаться или вести себя иным образом плохо. В частности, существуют антисимметричные опорные функции, основанные на функции Вейерштрасса , соответствующие проективные ежи которой представляют собой фрактальные кривые, непрерывные, но нигде не дифференцируемые и имеющие бесконечную длину.

Треугольник Рело и его средний еж, геометрическое место середин его диаметральных отрезков. Хоть этот еж и напоминает дельтовидную мышцу, но это не так; вместо этого он образован тремя дугами окружности с половиной радиуса внешних дуг треугольника Рело.

Каждое строго выпуклое тело на плоскости определяет проективного ежа, своего среднего ежа , огибающую линий на полпути между каждой парой параллельных опорных линий. Хотя треугольники не являются строго выпуклыми, определенная таким образом оболочка треугольника является его медиальным треугольником . Точки среднего ежа — это середины отрезков, соединяющих пары точек, в которых каждая пара параллельных опорных линий соприкасается с телом. Оно имеет конечную длину, равную половине периметра данного тела. Каждая крайняя точка выпуклой оболочки среднего ежа является точкой выпуклости , точкой такой, что объединение тела с его отражением через эту точку является выпуклым. Таких точек всегда как минимум три, а треугольники и треугольник Рело являются примерами, когда их ровно три.

Характеристики

У неособого ежа есть уникальная касательная линия в каждом ориентированном направлении, принадлежащая его определяющему семейству линий. Соответственно, любой достаточно хорошо ведущий себя проективный еж имеет уникальную касательную в каждом направлении, независимо от ориентации.

Пары ежей можно объединить поточечной суммой их опорных функций. Эта операция расширяет сложение Минковского выпуклых тел и во многих отношениях аналогична сложению Минковского. Его можно использовать для характеристики кривых постоянной ширины : выпуклый ёж имеет постоянную ширину. $w$ тогда и только тогда, когда его опорная функция образуется сложением $w/2$ к опорной функции проективного ежа. То есть кривые постоянной ширины — это в точности выпуклые ежи, образованные суммами проективных ежей и окружностей.

Каждый проективный ёж имеет как минимум три особенности (обычно каспы ). Когда проективный еж имеет конечную длину, конструкция Леонарда Эйлера показывает, что его эвольвенты достаточно большого радиуса представляют собой кривые постоянной ширины.

Обобщение

В более общем смысле, ежи — это естественные геометрические объекты, которые представляют собой формальные различия выпуклых тел: дана (K,L) упорядоченная пара выпуклых тел в евклидовом векторном пространстве. $\mathbb {R} ^{n+1}$, существует один и только один еж, который представляет формальную разность K – L в $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Многоугольный случай на плоскости:

Случай гладких выпуклых тел с положительной кривизной Гаусса:

Вычитание двух выпуклых гиперповерхностей (с положительной гауссовой кривизной) путем вычитания точек, соответствующих одной и той же внешней единичной нормали, для получения (возможно, особой и самопересекающейся) гиперповерхности:

Идея использования разностей Минковского выпуклых тел восходит к нескольким работам А.Д. Александрова и Х. Гепперта. в 1930-е годы. Многие классические представления о выпуклых телах распространяются и на ежей, и немало классических результатов находят свои аналоги. Конечно, необходимы некоторые адаптации. В частности, тома должны быть заменены их алгебраическими версиями.

В длинной серии статей И. Мартинес-Мор изучал ежей и их продолжения в различных аспектах. Самым поразительным результатом этой теории ежа было построение контрпримеров к старой предполагаемой характеристике 2-сферы.