Изотомный конъюгат

В геометрии изотомически сопряженная точка P относительно треугольника △ ABC — это другая точка, определенная особым образом из P и △ ABC : Если базовые точки прямых PA, PB, PC на сторонах, противоположных A, B, C относительно отражаются середин своих соответствующих сторон, полученные линии пересекаются в изотомическом сопряжении P .

Строительство

Мы предполагаем, что P не коллинеарна никаким двум вершинам из △ ABC . Пусть A', B', C' — точки, в которых прямые AP, BP, CP пересекаются с боковыми линиями BC, CA, AB ( расширяются при необходимости ). Отражение A', B', C' в серединах сторон BC , CA , AB даст точки A", B", C" соответственно. Изотомические линии AA", BB", CC" соединяют эти новые точки с вершинами. встречаются в точке (что можно доказать с помощью теоремы Чевы ), сопряженной изотомически P .

Если трилинейными для P являются p : q : r , то трилинейными для изотомического сопряжения P являются

$a^{-2}p^{-1}:b^{-2}q^{-1}:c^{-2}r^{-1},$

где a, b, c — длины сторон, противоположных вершинам A, B, C соответственно.

Характеристики

Изотомно-сопряженное центроида треугольника △ ABC является самим центроидом.

Изотомно-сопряженной точкой симмедианы является третья точка Брокара , а изотомно-сопряженной точкой Жергонна — точка Нагеля .

Изотомические сопряжения прямых являются циркумкониками, и наоборот, изотомические сопряжения циркумкоников являются прямыми. (Это свойство справедливо для изогональных сопряжений и .)

См. также

• Изогональное сопряжение
• Центр треугольника

Ссылки

• Роберт Лахлан, Элементарный трактат о современной чистой геометрии , Macmillan and Co., 1893, стр. 57.
• Роджер А. Джонсон: Расширенная евклидова геометрия . Дувр 2007, ISBN   978-0-486-46237-0 , стр. 157–159, 278

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Изотомный конъюгат» . Математический мир .
• Паук Ю: Изотомные и изогональные конъюгаты
• Навнел Сингхал: изотомические и изогональные конъюгаты