Вписать и вписать в окружность

В геометрии или вписанная окружность вписанная окружность треугольника , — это наибольшая окружность которая может содержаться в треугольнике; он касается (касается ) трех сторон. Центр вписанной окружности — это центр треугольника, треугольника называемый вписанным центром . ^[1]

Внешняя вписанная или окружность ^[2]треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. ^[3]

Центр вписанной окружности, называемый вписанной окружностью , можно найти как пересечение трех внутренних биссектрис . ^[3]^[4]Центр вписанной окружности — это пересечение внутренней биссектрисы одного угла ( $в вершине A$ например, ) и внешних биссектрис двух других. называется эксцентром относительно вершины $A$ или эксцентром A. $окружности$ Центр этой ^[3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вписанной окружности образуют ортоцентрическую систему . ^[5]но не все полигоны таковы; те, которые это делают, представляют собой тангенциальные многоугольники . См. также касательные к окружностям .

Окружность и центрирование [ править ]

Предполагать $\triangle ABC$ имеет вписанную окружность радиуса $r$ и центр $I$ . Позволять $a$ быть длиной ${\overline {BC}}$ , $b$ длина ${\overline {AC}}$ , и $c$ длина ${\overline {AB}}$ . Также пусть $T_{A}$ , $T_{B}$ , и $T_{C}$ быть точками соприкосновения вписанной окружности ${\overline {BC}}$ , ${\overline {AC}}$ , и ${\overline {AB}}$ .

Инцентр [ править ]

Инцентр — это точка, в которой биссектрисы внутренних углов . расположены $\angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC$ встретиться.

Расстояние от вершины $A$ в центр $I$ является: ^{[ нужна цитата ]}

d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.

Трилинейные координаты [ править ]

Трилинейные координаты точки треугольника — это отношение всех расстояний к сторонам треугольника. Поскольку инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты инцентра равны ^[6]

\ 1:1:1.

Барицентрические координаты [ править ]

Барицентрические координаты точки в треугольнике задают веса так, что точка представляет собой средневзвешенное значение положений вершин треугольника. Барицентрические координаты центра определяются выражением

\ a:b:c

где $a$ , $b$ , и $c$ — длины сторон треугольника или, что то же самое (используя закон синусов ), по формуле

\sin A:\sin B:\sin C

где $A$ , $B$ , и $C$ — углы при трёх вершинах.

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты центра представляют собой средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра (то есть с использованием приведенных выше барицентрических координат, нормализованных для суммы, равной единице) в качестве весов. Веса положительны, поэтому центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в $(x_{a},y_{a})$ , $(x_{b},y_{b})$ , и $(x_{c},y_{c})$ , а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины $a$ , $b$ , и $c$ , то центр тяжести находится в ^{[ нужна цитата ]}

\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.

Радиус [ править ]

Внутренний радиус $r$ вписанной окружности в треугольнике со сторонами длиной $a$ , $b$ , $c$ дан кем-то ^[7]

r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ это полупериметр.

Точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длин. $s-a$ от $A$ , $s-b$ от $B$ , и $s-c$ от $C$ . ^[8]

См. формулу Герона .

Расстояния до вершин [ править ]

Обозначая центр $\triangle ABC$ как $I$ , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению ^[9]

{\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Кроме того, ^[10]

{\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},

где $R$ и $r$ треугольника - окружной и внутренний радиус соответственно.

Другая недвижимость [ править ]

Совокупности центров треугольников можно придать структуру группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе центральная часть образует идентификационный элемент . ^[6]

Вписанная окружность и ее свойства радиуса [ править ]

Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания [ править ]

Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны; например: ^[11]

d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.

Другая недвижимость [ править ]

Если высоты со сторон длин $a$ , $b$ , и $c$ являются $h_{a}$ , $h_{b}$ , и $h_{c}$ , то радиус $r$ составляет одну треть среднего гармонического значения этих высот; то есть, ^[12]

r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.

Произведение радиуса вписанной окружности $r$ и описанной окружности радиус $R$ треугольника со сторонами $a$ , $b$ , и $c$ является ^[13]

rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.

Некоторые соотношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности: ^[14]

{\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). В любом треугольнике их может быть один, два или три. ^[15]

Обозначая центр вписанной окружности $\triangle ABC$ как $I$ , у нас есть ^[16]

{\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1

и ^[17]^{: 121, #84}

{\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.

Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот. ^[18]^: 289

Квадрат расстояния от центра $I$ до центра окружности $O$ дан кем-то ^[19]^: 232

{\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]

и расстояние от центра до центра $N$ из девятиточечного круга ^[19]^: 232

{\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.

Инцентр лежит в медиальном треугольнике (вершины которого являются серединами сторон). ^[19]^{: 233, Лемма 1.}

Отношение к площади треугольника [ править ]

Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. ^[20] Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно $\pi {\big /}3{\sqrt {3}}$ , причем равенство справедливо только для равносторонних треугольников . ^[21]

Предполагать $\triangle ABC$ имеет вписанную окружность радиуса $r$ и центр $I$ . Позволять $a$ быть длиной ${\overline {BC}}$ , $b$ длина ${\overline {AC}}$ , и $c$ длина ${\overline {AB}}$ . Теперь вписанная окружность касается ${\overline {AB}}$ в какой-то момент $T_{C}$ , и так $\angle AT_{C}I$ верно. Таким образом, радиус $T_{C}I$ это высота $\triangle IAB$ . Поэтому, $\triangle IAB$ имеет базовую длину $c$ и высота $r$ , и поэтому имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}cr$ . Сходным образом, $\triangle IAC$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}br$ и $\triangle IBC$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}ar$ . Поскольку эти три треугольника разлагаются $\triangle ABC$ , мы видим, что площадь $\Delta {\text{ of }}\triangle ABC$ является:

\Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,

и

r={\frac {\Delta }{s}},

где $\Delta$ это площадь $\triangle ABC$ и $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ это его полупериметр .

В качестве альтернативной формулы рассмотрим $\triangle IT_{C}A$ . Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна $r$ а другая сторона равна $r\cot {\tfrac {A}{2}}$ . То же самое верно для $\triangle IB'A$ . Большой треугольник состоит из шести таких треугольников, а его общая площадь равна: ^{[ нужна цитата ]}

\Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).

Треугольник Жергонна и точка [ править ]

( Треугольник Жергонна англ. $\triangle ABC$ ) определяется тремя точками касания вписанной окружности с трех сторон. Точка касания напротив $A$ обозначается $T_{A}$ , и т. д.

Этот треугольник Жергонна, $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ , также известен как контактный треугольник или касания треугольник $\triangle ABC$ . Его площадь

K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}

где $K$ , $r$ , и $s$ площадь, радиус вписанной окружности и полупериметр исходного треугольника, а $a$ , $b$ , и $c$ — длины сторон исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника касания . ^[22]

Три линии $AT_{A}$ , $BT_{B}$ и $CT_{C}$ пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , обозначаемой как $G_{e}$ (или центр треугольника X ₇ ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в своем центре, и может быть любой точкой внутри него. ^[23]

Точка Жергонна треугольника обладает рядом свойств, в том числе тем, что она является симедианой точкой треугольника Жергонна. ^[24]

Трилинейные координаты вершин треугольника касания определяются выражением ^{[ нужна цитата ]}

{\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}

Трилинейные координаты точки Жергонна определяются выражением ^{[ нужна цитата ]}

\sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},

или, что то же самое, по закону синусов ,

{\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.

Экскруги и эксцентры [ править ]

Внешняя вписанная или окружность ^[2]треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника. ^[3]

Центром вписанной окружности является пересечение внутренней биссектрисы одного угла (в вершине $A$ , например) и внешние биссектрисы двух других. Центр этой окружности называется эксцентром относительно вершины $A$ или эксцентр , $A$ . ^[3] Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вписанной окружности образуют ортоцентрическую систему . ^[5]

Трилинейные координаты эксцентров [ править ]

В то время центр как $\triangle ABC$ имеет трилинейные координаты $1:1:1$ , эксцентры имеют трилинейки ^{[ нужна цитата ]}

{\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}

трансляция [ править ]

Радиусы экскругов называются эксрадиусами .

Эксрадиус внешней окружности напротив $A$ (так трогательно $BC$ , с центром в $J_{A}$ ) является ^[25]^[26]

r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},

где

s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).

См. формулу Герона .

Вывод формулы эксрадиуса [ править ]

Источник: ^[25]

Пусть вписанная окружность сбоку $AB$ прикосновение сбоку $AC$ продлен на $G$ , и пусть этот вписанный в окружность радиус будет $r_{c}$ и его центр будет $J_{c}$ . Затем $J_{c}G$ это высота $\triangle ACJ_{c}$ , так $\triangle ACJ_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ . По аналогичному аргументу, $\triangle BCJ_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ и $\triangle ABJ_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$ . Таким образом, площадь $\Delta$ треугольника $\triangle ABC$ является

\Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}

.

Итак, в силу симметрии, обозначая $r$ как радиус вписанной окружности,

\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}

.

По закону косинусов имеем

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Объединив это с идентичностью $\sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1$ , у нас есть

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Но $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$ , и так

{\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}

что является формулой Герона .

Объединив это с $sr=\Delta$ , у нас есть

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.

Сходным образом, $(s-a)r_{a}=\Delta$ дает

{\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}

Другая недвижимость [ править ]

Из приведенных выше формул видно, что вписанная окружность всегда больше вписанной и что наибольшая вписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает: ^[27]

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Другие свойства внешней окружности [ править ]

Круглая оболочка вписанных окружностей внутренне касается каждой из вписанных окружностей и, таким образом, представляет собой окружность Аполлония . ^[28] Радиус этого круга Аполлония равен ${\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ где $r$ радиус вписанной окружности и $s$ это полупериметр треугольника. ^[29]

Между внутренними радиусами имеют место следующие соотношения $r$ , радиус описанной окружности $R$ , полупериметр $s$ , а радиусы внешней окружности $r_{a}$ , $r_{b}$ , $r_{c}$ : ^[14]

{\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}

Окружность, проходящая через центры трех вписанных окружностей, имеет радиус $2R$ . ^[14]

Если $H$ является ортоцентром $\triangle ABC$ , затем ^[14]

{\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}

Треугольник Нагеля и Нагеля точка

Нагеля Треугольник или эксташа треугольник $\triangle ABC$ обозначается вершинами $T_{A}$ , $T_{B}$ , и $T_{C}$ это три точки, в которых вписанные окружности касаются ссылки $\triangle ABC$ и где $T_{A}$ является противоположностью $A$ и т. д. Это $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ также известен как касания треугольник $\triangle ABC$ . Окружность касания $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ называется кругом Мандарта . ^{[ нужна цитата ]}

Три отрезка линии ${\overline {AT_{A}}}$ , ${\overline {BT_{B}}}$ и ${\overline {CT_{C}}}$ называются разветвителями треугольника; каждый из них делит периметр треугольника пополам, ^{[ нужна цитата ]}

{\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).

треугольника. Разделители пересекаются в одной точке - точке Нагеля $N_{a}$ (или центр треугольника X ₈ ).

Трилинейные координаты вершин касающегося треугольника имеют вид ^{[ нужна цитата ]}

{\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}

Трилинейные координаты точки Нагеля имеют вид ^{[ нужна цитата ]}

\csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},

или, что то же самое, по закону синусов ,

{\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.

Точка Нагеля является изотомной сопряженной точкой Жергонна. ^{[ нужна цитата ]}

Родственные конструкции [ править ]

Девятиточечная окружность Фейербаха точка и

Окружность из девяти точек касается вписанной и вписанной окружностей.

В геометрии девятиточечная окружность — это окружность , которую можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять важных конциклических точек, определяемых треугольником. Эти девять пунктов таковы: ^[30]^[31]

Середины каждой стороны треугольника
Подножие каждой высоты
Средняя точка отрезка от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на соответствующих высотах).

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность из девяти точек любого треугольника касается этого треугольника снаружи трех вписанных окружностей и внутренне касается вписанной в него окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что: ^[32]

... окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... ( Фейербах, 1822 г. )

, Центр треугольника в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .

Внутренний и внешний треугольники [ править ]

Точки пересечения биссектрис внутренних углов $\triangle ABC$ с сегментами $BC$ , $CA$ , и $AB$ являются вершинами центрального треугольника . Трилинейные координаты вершин центрального треугольника $\triangle A'B'C'$ даны ^{[ нужна цитата ]}

{\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}

Внешний треугольник опорного треугольника имеет вершины в центрах вписанных окружностей опорного треугольника. Его стороны лежат на биссектрисах внешнего угла опорного треугольника (см. рисунок вверху страницы ). Трилинейные координаты вершин внецентрального треугольника $\triangle A'B'C'$ даны ^{[ нужна цитата ]}

{\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}

Уравнения для четырех кругов [ править ]

Позволять $x:y:z$ — переменная точка в трилинейных координатах , и пусть $u=\cos ^{2}\left(A/2\right)$ , $v=\cos ^{2}\left(B/2\right)$ , $w=\cos ^{2}\left(C/2\right)$ . Четыре круга, описанные выше, эквивалентно задаются любым из двух заданных уравнений: ^[33]^{: 210–215}

Обвести: ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$
$A$ -обвести: ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$
$B$ -обвести: ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$
$C$ -обвести: ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$

Теорема Эйлера [ править ]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:

(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},

где $R$ и $r$ - радиус описанной и внутренней окружности соответственно, и $d$ расстояние между центром описанной окружности и центром.

Для вписанных окружностей уравнение аналогично:

\left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},

где $r_{\text{ex}}$ - радиус одной из вписанных окружностей, а $d_{\text{ex}}$ расстояние между центром описанной окружности и центром этой окружности. ^[34]^[35]^[36]

Обобщение на другие полигоны [ править ]

Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. называются Такие четырехугольники касательными . Среди их многочисленных свойств, пожалуй, самым важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито . ^[37]

В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, в который есть вписанная окружность (то есть касательная к каждой стороне), называется касательным многоугольником . ^{[ нужна цитата ]}

См. также [ править ]

Циркумгон – геометрическая фигура, описывающая круг.
Описанная окружность – Окружность, проходящая через вершины треугольника.
Экс-тангенциальный четырехугольник - выпуклый четырехсторонний многоугольник, все боковые линии которого касаются внешней окружности.
Теорема Харкорта - Площадь треугольника с его сторон и расстояния между вершинами до любой линии, касательной к вписанной в него окружности.
Циркумконическое и неконическое сечение - коническое сечение, проходящее через вершины треугольника или касающееся его сторон.
Вписанная сфера - сфера, касающаяся каждой грани многогранника.
Мощность точки – Относительное расстояние точки от окружности.
Эллипс Штейнера - уникальный эллипс, касательный ко всем трем средним точкам сторон данного треугольника.
Тангенциальный четырехугольник - многоугольник, все четыре стороны которого касаются окружности.
Треугольник конический
Теорема триллиума - утверждение о свойствах вписанных и описанных кругов.

Примечания [ править ]

^ Кей (1969 , стр. 140)
^ Перейти обратно: ^а ^б Альтшиллер-Корт (1925 , с. 74)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Альтшиллер-Корт (1925 , с. 73)
^ Кей (1969 , стр. 117)
^ Перейти обратно: ^а ^б Джонсон 1929 , с. 182.
^ Перейти обратно: ^а ^б Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 28 октября 2014 г.
^ Кей (1969 , стр. 201)
^ Чу, Томас, Пентагон , весна 2005 г., стр. 45, задача 584.
^ Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшен (март 2012 г.), «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 : 161–165, doi : 10.1017/S0025557200004277 , S2CID 124176398 .
^ Альтшиллер-Корт, Натан (1980), Геометрия колледжа , Dover Publications . №84, с. 121.
^ Математический вестник , июль 2003 г., 323–324.
^ Кей (1969 , стр. 203)
^ Джонсон 1929 , с. 189, № 298(д).
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
^ Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», журнал Mathematics Magazine 83, апрель 2010 г., стр. 141-146.
^ Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.
^ Альтшиллер-Корт, Натан. Колледжская геометрия , Dover Publications, 1980.
^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Францсен, Уильям Н. (2011). «Расстояние от центра до линии Эйлера» (PDF) . Форум Геометрикорум . 11 : 231–236. МР 2877263 . .
^ Коксетер, HSM «Введение в геометрию, 2-е изд. Уайли, 1961.
^ Минда Д. и Фелпс С., «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены», American Mathematical Monthly 115, октябрь 2008 г., 679-689: Теорема 4.1.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Контактный треугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
^ Кристофер Дж. Брэдли и Джефф К. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html
^ Деков, Деко (2009). «Компьютерная математика: точка Жергонна» (PDF) . Журнал компьютерной евклидовой геометрии . 1 :1–14. Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2010 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Альтшиллер-Корт (1925 , с. 79)
^ Кей (1969 , стр. 202)
^ Бейкер, Маркус, «Сборник формул для площади плоского треугольника», Анналы математики , часть 1, том. 1 (6), январь 1885 г., 134–138. (См. также часть 2 в т. 2 (1), сентябрь 1885 г., 11–18.)
^ Гринберг, Дарий, и Ю, Пол, «Круг Аполлония как круг Такера», Forum Geometricorum 2, 2002: стр. 175-182.
^ Стеванович, Милорад Р., «Круг Аполлония и связанные с ним центры треугольников», Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195.
^ Альтшиллер-Корт (1925 , стр. 103–110)
^ Кей (1969 , стр. 18, 245)
^ Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822 г.), Свойства некоторых странных точек прямолинейного треугольника и нескольких линий и фигур, определяемых ими. Аналитико-тригонометрический трактат (изд. Монографии), Нюрнберг: Висснер .
^ Уитворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 (оригинал Deighton, Bell and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
^ Нельсон, Роджер, «Неравенство треугольника Эйлера посредством доказательства без слов», Mathematics Magazine 81 (1), февраль 2008 г., 58-61.
^ Джонсон 1929 , с. 187.
^ Емельянов Лев и Емельянова Татьяна. «Формула Эйлера и поризм Понселе», Forum Geometricorum 1, 2001: стр. 137–140.
^ Йозефссон (2011 , см., в частности, стр. 65–66.)

Ссылки [ править ]

Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 52013504
Джонсон, Роджер А. (1929), «X. Вписанные и вписанные круги» , «Современная геометрия» , Houghton Mifflin, стр. 182–194.
Йозефссон, Мартин (2011), «Дополнительные характеристики касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82, MR 2877281
Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN 69012075
Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс чисел (129): i – xxv, 1–295.
Поцелуй, Шандор (2006). «Ортические треугольники касания и касания ортических треугольников». Форум Geometricorum (6): 171–177.

Внешние ссылки [ править ]

Интерактивный [ править ]

Вписанный в центр треугольник Вписанный в окружность треугольник Вписанная окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
Построение вписанной/вписанной окружности треугольника с помощью циркуля и линейки. Интерактивная анимационная демонстрация.
Теорема о равных вписанных окружностях при разрезании узла
Теорема пяти вписанных кругов в разрубке узла
Пары вписанных окружностей в четырехугольнике при разрезании узла
Интерактивный Java-апплет для incenter

[1] Кей (1969 , стр. 140)

[Altshiller-Court_1925_74-2] Перейти обратно: ^а ^б Альтшиллер-Корт (1925 , с. 74)

[Altshiller-Court_1925_73-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Альтшиллер-Корт (1925 , с. 73)

[4] Кей (1969 , стр. 117)

[FOOTNOTEJohnson1929182-5] Перейти обратно: ^а ^б Джонсон 1929 , с. 182.

[etc-6] Перейти обратно: ^а ^б Энциклопедия центров треугольников. Архивировано 19 апреля 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 28 октября 2014 г.

[7] Кей (1969 , стр. 201)

[8] Чу, Томас, Пентагон , весна 2005 г., стр. 45, задача 584.

[9] Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; Яо, Хайшен (март 2012 г.), «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette , 96 : 161–165, doi : 10.1017/S0025557200004277 , S2CID 124176398 .

[10] Альтшиллер-Корт, Натан (1980), Геометрия колледжа , Dover Publications . №84, с. 121.

[:0-11] Математический вестник , июль 2003 г., 323–324.

[12] Кей (1969 , стр. 203)

[FOOTNOTEJohnson1929189,_#298(d)-13] Джонсон 1929 , с. 189, № 298(д).

[Bell-14] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обращение и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.

[15] Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», журнал Mathematics Magazine 83, апрель 2010 г., стр. 141-146.

[16] Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.

[17] Альтшиллер-Корт, Натан. Колледжская геометрия , Dover Publications, 1980.

[18] Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

[Franzsen-19] Перейти обратно: ^а ^б ^с Францсен, Уильям Н. (2011). «Расстояние от центра до линии Эйлера» (PDF) . Форум Геометрикорум . 11 : 231–236. МР 2877263 . .

[20] Коксетер, HSM «Введение в геометрию, 2-е изд. Уайли, 1961.

[21] Минда Д. и Фелпс С., «Треугольники, эллипсы и кубические многочлены», American Mathematical Monthly 115, октябрь 2008 г., 679-689: Теорема 4.1.

[22] Вайсштейн, Эрик В. «Контактный треугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html

[Bradley-23] Кристофер Дж. Брэдли и Джефф К. Смит, «Расположение центров треугольников», Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html

[24] Деков, Деко (2009). «Компьютерная математика: точка Жергонна» (PDF) . Журнал компьютерной евклидовой геометрии . 1 :1–14. Архивировано из оригинала (PDF) 5 ноября 2010 г.

[Altshiller-Court_1925_79-25] Перейти обратно: ^а ^б Альтшиллер-Корт (1925 , с. 79)

[26] Кей (1969 , стр. 202)

[27] Бейкер, Маркус, «Сборник формул для площади плоского треугольника», Анналы математики , часть 1, том. 1 (6), январь 1885 г., 134–138. (См. также часть 2 в т. 2 (1), сентябрь 1885 г., 11–18.)

[28] Гринберг, Дарий, и Ю, Пол, «Круг Аполлония как круг Такера», Forum Geometricorum 2, 2002: стр. 175-182.

[29] Стеванович, Милорад Р., «Круг Аполлония и связанные с ним центры треугольников», Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195.

[30] Альтшиллер-Корт (1925 , стр. 103–110)

[31] Кей (1969 , стр. 18, 245)

[32] Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822 г.), Свойства некоторых странных точек прямолинейного треугольника и нескольких линий и фигур, определяемых ими. Аналитико-тригонометрический трактат (изд. Монографии), Нюрнберг: Висснер .

[WW-33] Уитворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 (оригинал Deighton, Bell and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books

[Nelson-34] Нельсон, Роджер, «Неравенство треугольника Эйлера посредством доказательства без слов», Mathematics Magazine 81 (1), февраль 2008 г., 58-61.

[FOOTNOTEJohnson1929187-35] Джонсон 1929 , с. 187.

[36] Емельянов Лев и Емельянова Татьяна. «Формула Эйлера и поризм Понселе», Forum Geometricorum 1, 2001: стр. 137–140.

[37] Йозефссон (2011 , см., в частности, стр. 65–66.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]