Девятиточечный круг

Стороны треугольника

Высоты (совпадают в ортоцентре )

Отрезки линий, перпендикулярные средним точкам сторон (совпадают в центре описанной окружности )

**Круг из девяти точек** (с центром в центре девяти точек )
Обратите внимание, что конструкция по-прежнему работает, даже если ортоцентр и центр описанной окружности выходят за пределы треугольника.

В геометрии девятиточечная окружность — это окружность , которую можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять важных конциклических точек, определяемых треугольником. Эти девять пунктов таковы:

Середины каждой стороны треугольника
Подножие каждой высоты
Средняя точка отрезка от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на соответствующих высотах). ^[1]^[2]

Круг из девяти точек также известен как круг Фейербаха (в честь Карла Вильгельма Фейербаха ), круг Эйлера (в честь Леонарда Эйлера ), круг Теркема (в честь Олри Теркема ), круг из шести точек , круг из двенадцати точек , $n$ -точечный круг . круг , медиописанный круг , средний круг или описанный срединный круг . Его центр — это девятиточечный центр треугольника. ^[3]^[4]

Девять важных пунктов

На диаграмме выше показаны девять важных точек девятиточечного круга. Точки $D, E, F$ являются серединами трех сторон треугольника. Точки $G, H, I$ — основания высот треугольника. Точки $J, K, L$ — это середины отрезков между вершин пересечением $каждой высоты (точки A, B, C$ ) и ортоцентром треугольника (точка $S$ ).

Для остроугольного треугольника шесть точек (середины и футы высоты) лежат на самом треугольнике; в тупоугольном треугольнике две высоты имеют футы вне треугольника, но эти футы все равно принадлежат девятиконечному кругу.

Открытие

Хотя его открытие приписывают Карлу Вильгельму Фейербаху , он открыл не полностью девятиконечный круг, а скорее шестиконечный круг, признавая значение середин трех сторон треугольника и оснований высот этого треугольника. треугольник. ( См. рис. 1, точки $D, E, F, G, H, I.$ ) (Несколько раньше Шарль Брианшон и Жан-Виктор Понселе сформулировали и доказали ту же теорему.) Но вскоре после Фейербаха математик Олри Сам Теркем доказал существование круга. Он был первым, кто осознал дополнительное значение трех средних точек между вершинами треугольника и ортоцентром. ( См. рис. 1, точки $J, K, L.$ ) Таким образом, Теркем первым употребил название девятиконечного круга.

Касательные круги

Окружность из девяти точек касается вписанной и вписанной окружностей.

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность из девяти точек любого треугольника касается этого треугольника снаружи трех вписанных окружностей и внутренне касается вписанной в него окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника...

^[5]

Центр треугольника , в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .

Другие свойства девятиконечного круга

треугольника Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса девятиточечной окружности этого треугольника. ^[6]^{: стр.153}

Рисунок 3

Окружность из девяти точек делит пополам отрезок, идущий от ортоцентра соответствующего треугольника к любой точке описанной окружности.

Рисунок 4

Центр $N$ девятиточечного круга делит пополам сегмент от ортоцентра $H$ до центра описанной окружности $O$ (что делает ортоцентр центром расширения обеих окружностей): ^[6]^{: стр.152}

{\overline {ON}}={\overline {NH}}.

Центр девяти точек $N$ составляет одну четверть пути вдоль линии Эйлера от центроида $G$ до ортоцентра $H$ : ^[6]^{: стр.153}

{\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.

Пусть $ω$ — окружность из девяти точек диагонального треугольника вписанного четырехугольника . Точка пересечения бимедиан вписанного четырёхугольника принадлежит девятиточечной окружности. ^[7]^[8]

опорного треугольника Окружность из девяти точек опорного треугольника является описанной окружностью как медиального треугольника (с вершинами в середине сторон опорного треугольника), так и его ортогонального треугольника (с вершинами, расположенными у основания высот опорного треугольника). ^[6]^{: стр.153}
Центр всех прямоугольных гипербол , проходящих через вершины треугольника, лежит на его девятиточечной окружности. Примеры включают известные прямоугольные гиперболы Кейперта , Йержабека и Фейербаха. Этот факт известен как теорема Фейербаха о кониках.

Если ортоцентрическая система из четырех точек $A, B, C, H$ дана , то все четыре треугольника, образованные любой комбинацией трех различных точек этой системы, имеют один и тот же круг из девяти точек. Это следствие симметрии: стороны одного треугольника, прилегающие к вершине, которая является ортоцентром другого треугольника, являются отрезками этого второго треугольника. Третья середина лежит на их общей стороне. (Те же «средние точки», определяющие отдельные круги из девяти точек, эти круги должны совпадать.)
Следовательно, эти четыре треугольника имеют описанные окружности одинакового радиуса. Пусть $N$ представляет собой общий девятиточечный центр, а $P$ — произвольная точка плоскости ортоцентрической системы. Затем

{\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}

где

R

— общий радиус описанной окружности ; и если

{\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},

где

K

сохраняется постоянным, то геометрическое место

P

представляет собой круг с центром в

N

и радиусом

{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.

Когда

P

приближается

к N,

место

P

для соответствующей константы

K

сжимается на

N,

девятиточечный центр. Кроме того, девятиточечная окружность является геометрическим местом точки

P

такой, что

{\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.

Центры вписанной и вписанной окружностей треугольника образуют ортоцентрическую систему. Окружность из девяти точек, созданная для этой ортоцентрической системы, является описанной окружностью исходного треугольника. Ножки высот в ортоцентрической системе являются вершинами исходного треугольника.
Если даны четыре произвольные точки $A, B, C, D$ , которые не образуют ортоцентрическую систему, то окружности из девяти точек $△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ совпадают в точке, точке Понселе точки A $, Б, В,$ Д. Остальные шесть точек пересечения этих девятиточечных кругов совпадают с серединами четырех треугольников. Примечательно, что существует уникальная девятиточечная коника с центром в центре этих четырех произвольных точек, которая проходит через все семь точек пересечения этих девятиточечных окружностей. Кроме того, из-за упомянутой выше теоремы о конической окружности Фейербаха существует уникальная прямоугольная описанная окружность с центром в общей точке пересечения четырех девятиточечных окружностей, которая проходит через четыре исходные произвольные точки, а также ортоцентры четырех треугольников.
четыре точки $A, B, C, D,$ Если даны образующие вписанный четырёхугольник , то окружности из девяти точек $△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ совпадают в антицентре вписанного четырёхугольника. Все девятиконечные окружности совпадают с радиусом, равным половине радиуса описанной окружности вписанного четырехугольника. Девятиточечные круги образуют набор из четырех кругов Джонсона . Следовательно, четыре центра из девяти точек являются циклическими и лежат на окружности, соответствующей четырем окружностям из девяти точек, центр которых находится в антицентре вписанного четырехугольника. Кроме того, вписанный четырехугольник, образованный из четырех девятиточечных центров, гомотетичен эталонному вписанному четырехугольнику $ABCD$ в – раз. ⁠ 1 / 2 ⁠ и его гомотетический центр $N$ лежит на линии, соединяющей центр описанной окружности $O$ с антицентром $M$ , где

{\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.

Ортополь прямых , проходящих через центр описанной окружности, лежит на девятиточечной окружности.
Описанная окружность треугольника, окружность из девяти точек, полярный круг и описанная окружность касательного треугольника. ^[9] являются коаксиальными . ^[10]
Трилинейные координаты центра гиперболы Киперта :

{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}

Трилинейные координаты центра гиперболы Ержабека:

\cos(A)\sin ^{2}(B-C):\cos(B)\sin ^{2}(C-A):\cos(C)\sin ^{2}(A-B)

Полагая, что $x : y : z$ — переменная точка в трилинейных координатах, уравнение для девятиточечного круга имеет вид

x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0.

Обобщение

Окружность является примером конического сечения , а окружность из девяти точек является примером общей коники из девяти точек, построенной относительно треугольника $△ ABC$ и четвертой точки $P$ , где конкретный экземпляр окружности из девяти точек возникает, когда $P$ является ортоцентром $△ ABC$ . Вершины треугольника и $P$ определяют полный четырехугольник и три «диагональные точки», где пересекаются противоположные стороны четырехугольника. В четырехугольнике шесть «боковых линий»; коника из девяти точек пересекает их середины, а также включает в себя диагональные точки. Коника является эллипсом, когда $P$ находится внутри $△ ABC$ или в области, имеющей общие вертикальные углы с треугольником, но гипербола с девятью точками возникает, когда $P$ находится в одной из трех соседних областей, и гипербола является прямоугольной, когда P лежит на описанная окружность $△ ABC$ .

См. также

Круг Харта , родственная конструкция для круговых треугольников.
Теорема Лестера
Понселе-пойнт
Синтетическая геометрия

Примечания

^ Альтшиллер-Корт (1925 , стр. 103–110)
^ Кей (1969 , стр. 18, 245)
^ Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» . амер. Математика. Ежемесячно . 116 (3): 228–237. дои : 10.4169/193009709x470065 . Кочик и Солецки (обладатели премии Лестера Р. Форда 2010 года ) приводят доказательство теоремы о девятиточечном круге.
^ Кейси, Джон (1886). Теорема о девяти точках круга в продолжении первых шести книг Евклида (4-е изд.). Лондон: Longmans, Green, & Co. 58.
^ Фейербах и Бюзенгейгер, 1822 г. .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
^ Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточечному кругу». Математический вестник . 103 (557): 222–232. дои : 10.1017/mag.2019.53 . S2CID 213935239 .
^ Фрайверт, Дэвид (2018). «Новые применения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 (1): 5–16.
^ Альтшиллер-Суд (1925 , стр. 98)
^ Альтшиллер-Корт (1925 , стр. 241)

Ссылки

Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 52013504
Фейербах, Карл Вильгельм ; Бузенгейгер, Карл Гериберт Игнац (1822 г.), Свойства некоторых странных точек прямолинейного треугольника и нескольких линий и фигур, определяемых ими. Аналитико-тригонометрический трактат (изд. Монографии), Нюрнберг: Висснер .
Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN 69012075
Фрайверт, Дэвид (2019), «Новые точки, принадлежащие девятиточечному кругу», The Mathematical Gazette , 103 (557): 222–232, doi : 10.1017/mag.2019.53 , S2CID 213935239
Фрайверт, Дэвид (2018), «Новые применения метода комплексных чисел в геометрии циклических четырехугольников» (PDF) , International Journal of Geometry , 7 (1): 5–16

Внешние ссылки

«Демонстрация девятиконечного круга на Javascript» на rykap.com
Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Центр девяти точек обозначается как X (5), точка Фейербаха - как X (11), центр гиперболы Киперта - как X (115), а центр гиперболы Ержабека - как X (125).
История девятиконечного круга на основе статьи Дж. С. Маккея 1892 года: История девятиконечного круга.
Вайсштейн, Эрик В. «Круг девяти точек» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Ортополе» . Математический мир .
Девятиточечный круг на Java в кратчайшие сроки
Теорема Фейербаха: доказательство при разрубании узла
Особые линии и круги в треугольнике, Вальтер Фендт
Интерактивный апплет «Девятиточечный круг» из демонстрационного проекта Wolfram.
Обобщение девятиточечного конического круга и линии Эйлера в эскизах динамической геометрии. Обобщает девятиточечный круг до девятиточечного конического с соответствующим обобщением линии Эйлера.
Нью-Джерси Вильдбергер. Хромогеометрия. Обсуждается круг из девяти точек с учетом трех различных квадратичных форм (синего, красного, зеленого).
Стефан Гетц, Франц Хофбауэр: простое доказательство теоремы Фейербаха с бескоординатными векторами

[1] Альтшиллер-Корт (1925 , стр. 103–110)

[2] Кей (1969 , стр. 18, 245)

[3] Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» . амер. Математика. Ежемесячно . 116 (3): 228–237. дои : 10.4169/193009709x470065 . Кочик и Солецки (обладатели премии Лестера Р. Форда 2010 года ) приводят доказательство теоремы о девятиточечном круге.

[4] Кейси, Джон (1886). Теорема о девяти точках круга в продолжении первых шести книг Евклида (4-е изд.). Лондон: Longmans, Green, & Co. 58.

[FOOTNOTEFeuerbachBuzengeiger1822-5] Фейербах и Бюзенгейгер, 1822 г. .

[PL-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

[7] Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточечному кругу». Математический вестник . 103 (557): 222–232. дои : 10.1017/mag.2019.53 . S2CID 213935239 .

[8] Фрайверт, Дэвид (2018). «Новые применения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 (1): 5–16.

[9] Альтшиллер-Суд (1925 , стр. 98)

[10] Альтшиллер-Корт (1925 , стр. 241)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]