Полярный круг (геометрия)
В геометрии полярный круг треугольника , — это круг треугольника центр которого является ортоцентром , а квадрат радиуса равен
![{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE} }={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{ 2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324e26fa5cbad3b3df49752b826167addcf416da)
где A, B, C треугольника обозначают как вершины , так и углы в этих вершинах; H — ортоцентр треугольника (пересечение высот ); D, E, F — футы высот из вершин A, B, C соответственно; R треугольника — радиус описанной окружности (радиус описанной окружности ); a , b, c — длины сторон треугольника, противоположных вершинам A, B, C соответственно. [1] : с. 176
Первые части формулы радиуса отражают тот факт, что ортоцентр делит высоты на пары сегментов равных произведений. Тригонометрическая тупоугольный формула радиуса показывает, что полярный круг реально существует только в том случае, если треугольник , поэтому один из его углов тупой и, следовательно, имеет отрицательный косинус .
Характеристики
[ редактировать ]
( s ; с центром в K )
( d ; с центром в ортоцентре H )
Любые две полярные окружности двух треугольников в системе ортогональны ортоцентрической . [1] : с. 177
Полярные круги треугольников полного четырехугольника образуют коаксиальную систему. [1] : с. 179
Описанная окружность треугольника, его девятиконечная окружность , его полярный круг и описанная окружность его касательного треугольника являются коаксиальными. [2] : с. 241
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
- ^ Альтшиллер-Корт, Натан , Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал 1952).