Полный четырехугольник
В математике , конкретно в геометрии инцидентности и особенно в проективной геометрии , полный четырёхугольник — это система геометрических объектов, состоящая из любых четырёх точек плоскости , никакие три из которых не лежат на одной прямой , и из шести прямых, соединяющих шесть пар. очков. Двойственно четырехугольник полный представляет собой систему четырех прямых, никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку, и шести точек пересечения этих прямых. Полный четырехугольник был назван тетрастигмой Лахланом (1893) , а полный четырехугольник назван тетраграммой ; эти термины иногда все еще используются.
Диагонали [ править ]
Шесть линий полного четырехугольника встречаются попарно, образуя три дополнительные точки, называемые диагональными точками четырехугольника. Аналогично, среди шести точек полного четырехугольника есть три пары точек, еще не соединенных прямыми; отрезки , соединяющие эти пары, называются диагоналями . Для точек и прямых евклидовой плоскости диагональные точки не могут лежать на одной прямой, а диагонали не могут иметь ни одной точки тройного пересечения. В связи с открытием плоскости Фано , конечной геометрии , в которой диагональные точки полного четырехугольника коллинеарны , некоторые авторы дополнили аксиомы проективной геометрии аксиомой Фано о том, что диагональные точки не лежат на одной прямой. [1] в то время как другие были менее ограничительными.
Набор сокращенных выражений для частей полного четырехугольника был введен Г.Б. Холстедом : он называет вершины четырехугольника точками , а диагональные точки — кодотами . Линии проективного пространства называются прямыми , а в четырехугольнике — соединителями . назвал противоположными соединителями «Диагональные линии» Кокстера Холстед . Противоположные разъемы пересекаются в кодоте. Конфигурация полного четырехугольника — тетрастим . [2]
Проективные свойства [ править ]
D — гармоническое сопряжение C B. относительно A и проективно -
Как системы точек и прямых, в которых все точки принадлежат одному и тому же числу прямых и все прямые содержат одинаковое число точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации ; в обозначениях проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4 3 6 2 ), а полный четырехугольник – (6 2 4 3 ), где числа в этих обозначениях относятся к количеству точек, линий на точку, линий , и точек на строку конфигурации.Проективный двойник полного четырехугольника является полным четырехугольником, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует единственное проективное преобразование, переводящее одну из двух конфигураций в другую. [3]
Карл фон Штаудт реформировал математические основы в 1847 году с помощью полного четырехугольника, когда он заметил, что «гармоническое свойство» может быть основано на сопутствующих четырехугольнике: когда каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается по прямой, тогда диагонали пересекают эту линию. в проективно-гармонических сопряженных позициях. Четыре точки на линии, выходящей из сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармоническим диапазоном . Благодаря перспективности и проективности гармоническое свойство стабильно. Развитие современной геометрии и алгебры отмечает влияние фон Штаудта на Марио Пьери и Феликса Кляйна .
Евклидовы свойства [ править ]
В евклидовой плоскости четыре прямые полного четырехугольника не должны включать в себя пары параллельных прямых, чтобы каждая пара прямых имела точку пересечения.
Уэллс (1991) описывает несколько дополнительных свойств полных четырехугольников, которые включают метрические свойства евклидовой плоскости , а не являются чисто проективными. Середины диагоналей коллинеарны, а также (как доказал Исаак Ньютон ) коллинеарны с центром коники , касающейся всех четырех прямых четырехугольника. Любые три линии четырехугольника образуют стороны треугольника; ортоцентры . четырех образованных таким образом треугольников лежат на второй линии, перпендикулярной линии, проходящей через средние точки этих Описанные окружности же четырех треугольников сходятся в одной точке. Кроме того, три окружности, имеющие диагонали в качестве диаметров, принадлежат общему пучку окружностей. [4] осью которого является линия, проходящая через ортоцентры.
Полярные круги треугольников полного четырехугольника образуют коаксиальную систему. [5] : с. 179
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Хартсхорн 1967 ; Коксетер 1987 , с. 15.
- ^ ГБ Холстед (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 14 через Интернет-архив
- ^ Коксетер 1987 , с. 51
- ^ Уэллс неправильно пишет, что три круга встречаются в паре точек, но, как видно на Александром Богомольным , карандаш может быть гиперболическим, а не эллиптическим, и в этом случае круги не пересекаются. анимации тех же результатов
- ^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
Ссылки [ править ]
- Коксетер, HSM (1987). Проективная геометрия, 2-е изд . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-96532-7 .
- Хартшорн, Робин (1967). Основы проективной геометрии . В. А. Бенджамин. стр. 53–6.
- Лахлан, Роберт (1893). Элементарный трактат о современной чистой геометрии . Лондон, Нью-Йорк: Макмиллан и Ко. Линк из монографий по исторической математике Корнелльского университета . См., в частности, тетрастигму, стр. 85, и тетраграмму, стр. 90.
- Уэллс, Дэвид (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Пингвин. стр. 35–36 . ISBN 0-14-011813-6 .