Проективный диапазон

В математике проективный диапазон — это набор точек проективной геометрии, рассматриваемых единым образом. Проективная дальность может быть проективной прямой или конической . Проективная дальность — это двойственный пучок прямых в данной точке. Например, корреляция меняет местами точки проективного диапазона с линиями карандаша. действует проективность Говорят, что от одного диапазона к другому, хотя эти два диапазона могут совпадать как множества.

Проективный диапазон выражает проективную инвариантность отношения проективных гармонических сопряжений . Действительно, по этому соотношению три точки на проективной прямой определяют четвертую. Применение проективности к этой четверке также приводит к четырем точкам в гармоническом отношении. Такая четверка точек называется гармоническим диапазоном . В 1940 году Джулиан Кулидж описал эту структуру и определил ее создателя: ^[1]

Две фундаментальные одномерные формы, такие как диапазоны точек, пучки прямых или плоскостей, определяются как проективные, когда их члены находятся во взаимно однозначном соответствии, а гармонический набор единиц... соответствует гармоническому набору другой. ... Если две одномерные формы соединены последовательностью проекций и пересечений, гармоническим элементам будут соответствовать гармонические элементы, и они проективны в смысле Фон Штаудта .

Конические диапазоны

Когда для проективного диапазона выбрана коника и определенная точка E на конике выбрана в качестве начала координат, то сложение точек можно определить следующим образом: ^[2]

Пусть A и B находятся в диапазоне (конических), а AB — соединяющая их линия. Пусть L — линия, проходящая через E и параллельная AB . «Сумма точек A и B », A + B , представляет собой пересечение L с диапазоном. ^{[ нужна ссылка ]}

Окружность являются экземплярами коники, и суммирование углов каждой из них может быть и гипербола произведено методом «суммы точек» при условии, что точки связаны с углами окружности и гиперболическими углами гиперболы.

Ссылки

^ Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр. 98, Oxford University Press ( Dover Publications, 2003)
^ Виктор Прасолов и Юрий Соловьев (1997) Эллиптические функции и эллиптические интегралы , первая страница, Переводы математических монографий, том 170, Американское математическое общество

HSM Coxeter (1955) Реальная проективная плоскость , University of Toronto Press , стр. 20 для линии, стр. 101 для конической.

[1] Дж. Л. Кулидж (1940) История геометрических методов , стр. 98, Oxford University Press ( Dover Publications, 2003)

[2] Виктор Прасолов и Юрий Соловьев (1997) Эллиптические функции и эллиптические интегралы , первая страница, Переводы математических монографий, том 170, Американское математическое общество

[1]

[2]