Корреляция (проективная геометрия)
В проективной геометрии корреляция — это преобразование d -мерного проективного пространства , которое отображает подпространства размерности k в подпространства размерности d - k -1 , обращая включение и сохраняя инцидентность . Корреляции также называют взаимностью или взаимными преобразованиями .
В двух измерениях
[ редактировать ]В вещественной проективной плоскости точки и прямые двойственны друг другу. Как выразился Коксетер,
- Корреляция — это преобразование «точка-прямая» и «прямая-точка», сохраняющее отношение инцидентности в соответствии с принципом двойственности. Таким образом, он преобразует диапазоны в карандаши , карандаши в диапазоны, [полные] четырёхугольники в [полные] четырёхугольники и так далее. [1]
Учитывая прямую m и P — точку, не лежащую на m , элементарное соотношение получается следующим образом: для каждого Q на m образуют линию PQ . Обратная в этом пучке корреляция начинается с пучка на P : для любой прямой q возьмем точку m ∩ q . Композиция собой двух корреляций, имеющих один и тот же пучок, представляет перспективу .
В трех измерениях
[ редактировать ]В трехмерном проективном пространстве корреляция отображает точку на плоскость . Как сказано в одном учебнике: [2]
- Если κ является такой корреляцией, то каждая точка P преобразуется ею в плоскость π ′ = κP , и наоборот, каждая точка P возникает из единственной плоскости π ′ путем обратного преобразования κ −1 .
Трехмерные корреляции также преобразуют линии в линии, поэтому их можно рассматривать как коллинеации двух пространств.
В высших измерениях
[ редактировать ]В общем n -мерном проективном пространстве корреляция переводит точку в гиперплоскость . Этот контекст описал Пол Йель:
- Корреляция проективного пространства P ( V ) представляет собой обращающую включение перестановку собственных подпространств P ( V ). [3]
Он доказывает теорему, утверждающую, что корреляция φ меняет местами соединения и пересечения, и для любого проективного подпространства W в P ( V ) размерность образа W под φ равна ( n - 1) - dim W , где n - размерность векторного пространства V, используемого для создания проективного пространства P ( V ).
Наличие корреляций
[ редактировать ]Корреляции могут существовать только в том случае, если пространство самодвойственно. Для размерностей 3 и выше самодуальность легко проверить: координационное тело существует, и самодуальность не выполняется тогда и только тогда, когда тело не изоморфно своей противоположности.
Особые типы корреляций
[ редактировать ]Полярность
[ редактировать ]Если корреляция φ является инволюцией (т. е. два применения корреляции равны тождеству: φ 2 ( P ) = P для всех точек P ), то это называется полярностью . Полярности проективных пространств приводят к полярным пространствам , которые определяются путем взятия совокупности всех подпространств, содержащихся в их образе под полярностью.
Естественная корреляция
[ редактировать ]Существует естественная корреляция, возникающая между проективным пространством P ( V ) и его двойственным P ( V ∗ ) естественным спариванием ⟨⋅,⋅⟩ между базовыми векторными пространствами V и двойственным к ним V ∗ , где каждое подпространство W пространства V ∗ отображается в свое ортогональное дополнение W ⊥ в V , определяемом как W ⊥ знак равно { v ∈ V | ⟨ ш , v ⟩ знак равно 0, ∀ ш ∈ W }. [4]
Соединение этой естественной корреляции с изоморфизмом проективных пространств, индуцированным полулинейным отображением, приводит к корреляции P ( V ) с самим собой. Таким образом, каждое невырожденное полулинейное отображение V → V ∗ индуцирует корреляцию проективного пространства с самим собой.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ HSM Coxeter (1974) Проективная геометрия , второе издание, стр. 57, University of Toronto Press ISBN 0-8020-2104-2
- ^ JG Semple и GT Kneebone (1952) Алгебраическая проективная геометрия , стр. 360, Clarendon Press
- ^ Пол Б. Йель (1968, 1988. 2004) Геометрия и симметрия , глава 6.9 Корреляции и полубилинейные формы, Dover Publications ISBN 0-486-43835-X
- ^ Ирвинг Каплански (1974) [1969], Линейная алгебра и геометрия (2-е изд.), Стр. 104
- Роберт Дж. Бамкрофт (1969), «Современная проективная геометрия» , Холт, Райнхарт и Уинстон , глава 4.5 «Корреляции», с. 90
- Роберт А. Розенбаум (1963), Введение в проективную геометрию и современную алгебру , Аддисон-Уэсли , с. 198