Шлефли дабл шесть

Двойная шестерка Шлефли

В геометрии двойная шестерка Шлефли — это конфигурация из 30 точек и 12 линий в трехмерном евклидовом пространстве , введенная Людвигом Шлефли в 1858 году. Строки конфигурации можно разделить на два подмножества по шесть строк: каждая линия не пересекается со строками в своем собственном подмножестве из шести строк и пересекает все строки, кроме одной, в другом подмножестве из шести строк. Каждая из 12 строк конфигурации содержит пять точек пересечения, причем каждая из этих 30 точек пересечения принадлежит ровно двум линиям, по одной из каждого подмножества, поэтому в обозначениях конфигураций двойная шестерка Шлефли записывается 30 ₂ 12 ₅ .

Строительство

Как показал Шлефли, двойная шестерка может быть составлена ​​из любых пяти линий a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ , которые все пересекаются общей линией b ₆ , но в остальном находятся в общем положении (в частности, каждые две линии и _ai aj должны _{, и} быть перекошенными никакие четыре линии ai _{не должны} лежать на одной линейчатой ​​поверхности ). Для каждой из пяти строк a _i дополнительный набор из четырех из пяти строк имеет два квадратиссанса : b ₆ и вторую строку b _i . Пять линий b ₁ , b ₂ , b ₃ , b ₄ и b _{5 ,} образованные таким образом, в свою очередь пересекаются еще одной линией a ₆ . Двенадцать линий и _ai bi образуют _{двойную} шестерку: каждая линия ai _{, и} имеет точку пересечения с пятью другими линиями, линиями bj _, для которых i ≠ j наоборот.

Альтернативная конструкция, показанная на рисунке, состоит в том, чтобы провести двенадцать линий через шесть центров граней куба , каждая из которых находится в плоскости его грани и образует одинаковые углы по отношению к ребрам куба. Построенную любым из этих способов двойную шестерку можно спроецировать на плоскость, образуя двумерную систему точек и линий с одинаковой схемой падения.

Связанные объекты

12-вершинный граф короны , граф пересечения линий двойной шестерки

Типичная кубическая поверхность содержит 27 линий, среди которых можно найти 36 конфигураций двойной шестерки Шлефли. может потребоваться использование комплексных числовых Для представления всех этих строк координат; Кубические поверхности могут иметь менее 27 строк над действительными числами . В любом таком наборе из 27 линий 15 линий, дополнительных к двойной шестерке, вместе с 15 касательными плоскостями, проходящими через тройки этих линий, имеют шаблон инцидентности другой конфигурации, конфигурации Кремоны-Ричмонда .

Граф пересечений двенадцати линий конфигурации двойной шестерки представляет собой коронный граф с двенадцатью вершинами , двудольный граф , в котором каждая вершина смежна с пятью из шести вершин противоположного цвета. Граф Леви двойной шестерки можно получить, заменив каждое ребро графа короны путем с двумя ребрами. Граф пересечений всего набора из 27 прямых на кубической поверхности является дополнением графа Шлефли .

Ссылки

• Бенедетти, Бруно; Ди Марка, Микела; Варбаро, Маттео (2018), «Регулярность конфигураций линий», Журнал чистой и прикладной алгебры , 222 (9): 2596–2608, arXiv : 1608.02134 , doi : 10.1016/j.jpaa.2017.10.009 , MR   3783008
• Брауэр, А.Э.; Коэн, AM; Ноймайер, А. (1989), «Глава 1: Специальные регулярные графы», Дистанционно-регулярные графы , Результаты по математике и смежным областям, том. 18, Берлин: Springer-Verlag, стр. 1–42, номер документа : 10.1007/978-3-642-74341-2_1 , ISBN.  3-540-50619-5 , МР   1002568
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), «III.25: Двойная шестерка Шлефли», Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 164–170, ISBN  978-0-8284-1087-8
• Шлефли, Людвиг (1858), Кэли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности по видам, исходя из реальности линий на поверхности». поверхность» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 2 : 55–65, 110–120.
• Стоукс, Клара; Брас-Аморос, Мария (2014), «Шаблоны в полугруппах, связанные с комбинаторными конфигурациями», в Искьердо, Милагрос; Бротон, С. Аллен; Коста, Антонио Ф.; Родригес, Руби Э. (ред.), Римановы и клейновские поверхности, автоморфизмы, симметрии и пространства модулей: материалы конференции в честь Эмилио Бюяланса по римановым и клейновским поверхностям, симметриям и пространствам модулей, состоявшейся в Университете Линчёпинга, Линчёпинг, 24 июня –28, 2013 , Современная математика, вып. 629, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 323–333, doi : 10.1090/conm/629/12583 , MR   3289650

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойные шестерки» , MathWorld