Конфигурация Кремона – Ричмонд
В математике конфигурация Кремоны-Ричмонда представляет собой конфигурацию из 15 линий и 15 точек, имеющую по 3 точки на каждой линии и 3 линии, проходящие через каждую точку, и не содержащую треугольников. Его изучали Кремона ( 1877 г. ) и Ричмонд ( 1900 г. ). Это обобщенный четырехугольник с параметрами (2,2). Его граф Леви представляет собой граф Тутта-Коксетера . [ 1 ]
Симметрия
[ редактировать ]Точки конфигурации Кремоны–Ричмонда можно отождествить с неупорядоченные пары элементов шестиэлементного множества; эти пары называются дуадами . Точно так же линии конфигурации можно отождествить с 15 способами разделения одних и тех же шести элементов на три пары; эти разделы называются синтезаторами . Идентифицированная таким образом точка конфигурации инцидентна линии конфигурации тогда и только тогда, когда соответствующая этой точке дуада является одной из трех пар в синтеме, соответствующей этой прямой. [ 1 ]
Симметричная группа всех перестановок шести элементов, лежащих в основе этой системы дуад и синтем, действует как группа симметрии конфигурации Кремоны – Ричмонда и дает группу автоморфизмов конфигурации. Каждый флаг конфигурации (пара инцидентных точек и прямых) может быть преобразован в любой другой флаг посредством симметрии в этой группе. [ 1 ]
Конфигурация Кремоны-Ричмонда самодуальна : можно обменивать точки на линии, сохраняя при этом все инцидентности конфигурации. Эта двойственность придает графу Тутта-Коксетера дополнительные симметрии, помимо симметрии конфигурации Кремоны-Ричмонда, которая меняет местами две стороны его двуразделения. Эти симметрии соответствуют внешним автоморфизмам симметрической группы шести элементов.
Реализация
[ редактировать ]Любые шесть точек общего положения в четырехмерном пространстве определяют 15 точек, в которых линия, проходящая через две точки, пересекает гиперплоскость через остальные четыре точки; таким образом, дуады шести точек соответствуют один к одному этим 15 производным точкам. Любые три дуады, которые вместе образуют синтему, определяют линию, линию пересечения трех гиперплоскостей, содержащую две из трех дуад в синтеме, и эта линия содержит каждую из точек, полученных из ее трех дуад. Таким образом, дуады и синтезы абстрактной конфигурации соответствуют один к одному, сохраняя инцидентность, с этими 15 точками и 15 линиями, полученными из исходных шести точек, которые образуют реализацию конфигурации. Та же реализация может быть спроецирована в евклидово пространство или евклидову плоскость. [ 1 ]
Конфигурация Кремоны–Ричмонда также имеет однопараметрическое семейство реализаций на плоскости с циклической симметрией пятого порядка. [ 2 ]
История
[ редактировать ]Людвиг Шлефли ( 1858 , 1863 ) обнаружил кубические поверхности , содержащие наборы из 15 действительных прямых (дополняющих двойную шестерку Шлефли в наборе всех 27 прямых в кубе) и 15 касательных плоскостей, по три линии в каждой плоскости и по три плоскости, проходящие через каждую. линия. Пересечение этих линий и плоскостей другой плоскостью приводит к конфигурации 15 3 15 3 . Конкретная картина расположения линий и плоскостей Шлефли была позже опубликована Луиджи Кремоной ( 1868 ). Наблюдение о том, что полученная конфигурация не содержит треугольников, было сделано Мартинетти (1886) , и та же самая конфигурация появляется также в работе Герберта Уильяма Ричмонда ( 1900 ). Висконти (1916) нашел описание конфигурации как самовписанного многоугольника. Х. Ф. Бейкер использовал четырехмерную реализацию этой конфигурации в качестве фронтисписа для двух томов своего учебника 1922–1925 годов « Принципы геометрии» . Захариас (1951) также заново открыл ту же конфигурацию и нашел ее реализацию с циклической симметрией пятого порядка. [ 3 ]
Название конфигурации происходит от исследований ее Кремоной ( 1868 , 1877 ) и Ричмонда (1900) ; возможно, из-за некоторых ошибок в его работе современный вклад Мартинетти остался в безвестности. [ 3 ]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д Коксетер (1950) ; Коксетер (1958) . Терминология дуад и синтем заимствована у Сильвестра (1844) , но Сильвестр трактует эти системы пар и разбиений в контексте более общего изучения кортежей и разбиений множеств, не уделяя особого внимания случаю шестиэлементного множество и не придает им никакого геометрического значения.
- ^ Захариас (1951) ; Бобен и Писански (2003) ; Бобен и др. (2006) .
- ^ Jump up to: а б Эта история и большинство ссылок в ней взяты из Boben et al. (2006) . Ссылка на Бейкера взята из Coxeter (1950) .
Ссылки
[ редактировать ]- Бобен, М.; Писански, Т. (2003), «Полициклические конфигурации» (PDF) , European Journal of Combinatorics , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016/S0195-6698(03)00031-3 , MR 1975946
- Бобен, Марко; Грюнбаум, Бранко ; Писански, Томаж ; Житник, Арьяна (2006), «Малые конфигурации точек и линий без треугольников» (PDF) , Дискретная и вычислительная геометрия , 35 (3): 405–427, doi : 10.1007/s00454-005-1224-9 , MR 2202110 .
- Коксетер, HSM (1950), «Самодвойственные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества , 56 : 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 , MR 0038078 .
- Коксетер, HSM (1958), «Двенадцать точек в PG (5,3) с 95040 самопреобразованиями», Proceedings of the Royal Society A , 247 (1250): 279–293, doi : 10.1098/rspa.1958.0184 , JSTOR 100667 .
- Кремона, Л. (1868), «Память чистой геометрии на поверхностях третьего порядка», Ж. Рейн Ангью. Математика. , 68 :1–133 . Как цитирует Бобен и др. (2006) .
- Кремона, Л. (1877), Стереометрические теоремы, из которых выводятся свойства гексаграммы Паскаля , Proceedings of the R. Accademia dei Lincei, vol. 1
- Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий , Аспирантура по математике , том. 103, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4308-6 , МР 2510707
- Мартинетти, В. (1886), «О некоторых конфигурациях плоскости», Анналы чистой и прикладной математики , серия 2, 14 (1): 161–192, doi : 10.1007/BF02420733 .
- Ричмонд, Х.В. (1900), «О фигуре шести точек в четырехмерном пространстве». , Кварта. Дж. , 31 : 125–160
- Шлефли, Л. (1858), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и разделить такие поверхности на виды в зависимости от реальности линий на поверхности» , Quart. J. Pure Appl. Математика. , 2 : 55–65, 110–120 .
- Шлефли, Л. (1863), «О распределении поверхностей третьего порядка по видам в отношении отсутствия или присутствия особых точек и реальности их линий» , Philosophical Transactions of the Royal Society , 153 : 193. –241, номер домена : 10.1098/rstl.1863.0010 .
- Сильвестр, Дж. Дж. (1844 г.), «Элементарные исследования по анализу комбинаторной агрегации» (PDF) , Phil. Маг. , Серия 3, 24 : 285–295, doi : 10.1080/14786444408644856 .
- Висконти, Э. (1916), «О конфигурациях плоскостей атригона», Giornale di Matematiche di Battaglini , 54 : 27–41 . Как цитирует Бобен и др. (2006) .
- Захариас, Макс (1951), «Набеги в область конфигураций: конфигурация Рея (15 3 ), конфигурации звезды и цепи», Mathematical News , 5 : 329–345, doi : 10.1002/mana.19510050602 , MR 0043473 .