Конфигурация Гессена
В геометрии конфигурация Гессе — это конфигурация из 9 точек и 12 линий, по три точки на линию и четыре линии, проходящие через каждую точку. Она может быть реализована в комплексной проективной плоскости как множество точек перегиба эллиптической кривой , но не имеет реализации в евклидовой плоскости . Он был введен Колином Маклореном и изучен Гессеном ( 1844 г. ), [1] и также известна как геометрия Юнга , [2] назван в честь более поздней работы Джона Уэсли Янга по конечной геометрии. [3] [4]
Описание [ править ]
Конфигурация Гессе имеет те же отношения инцидентности, что и линии и точки аффинной плоскости над полем из трех элементов . То есть точки конфигурации Гессе можно отождествлять с упорядоченными парами чисел по модулю 3, а линии конфигурации соответственно можно отождествлять с тройками точек ( x , y ), удовлетворяющими линейному уравнению ax + by = c ( мод 3) . Альтернативно, точки конфигурации могут быть идентифицированы квадратами доски для игры в крестики-нолики , а линии могут быть идентифицированы с помощью линий и ломаных диагоналей доски.
Каждая точка принадлежит четырем линиям: в интерпретации конфигурации в виде крестиков-ноликов одна линия горизонтальна, одна вертикальна и две диагонали или ломаные диагонали. Каждая строка содержит три точки. На языке конфигураций конфигурация Гессе имеет обозначение 9 4 12 3 , что означает, что имеется 9 точек, по 4 линии на точку, 12 линий и 3 точки на линию.
Конфигурация Гессе имеет 216 симметрий (ее группа автоморфизмов имеет порядок 216). Группа его симметрий известна как группа Гессе .
Сопутствующие конфигурации [ править ]
Удаление любой точки и четырех ее инцидентных линий из конфигурации Гессе дает другую конфигурацию типа 8 3 8 3 , конфигурацию Мёбиуса-Кантора . [5] [6] [7]
В конфигурации Гессе 12 линий можно сгруппировать в четыре тройки параллельных (непересекающихся) линий. Удаление из конфигурации Гессе трех линий, принадлежащих одной тройке, дает конфигурацию типа 9 3 9 3 , конфигурацию Паппуса . [6] [7]
Конфигурацию Гессе, в свою очередь, можно расширить, добавив четыре точки, по одной на каждую тройку непересекающихся линий, и одну линию, содержащую четыре новые точки, чтобы сформировать конфигурацию типа 13 4 13 4 , набор точек и линий проективная плоскость над трехэлементным полем.
Реализуемость [ править ]
Конфигурация Гессе может быть реализована на комплексной проективной плоскости как 9 точек перегиба эллиптической кривой и 12 прямых, проходящих через тройки точек перегиба. [3] Если данный набор из девяти точек комплексной плоскости является набором изгибов эллиптической кривой C , он также является набором изгибов каждой кривой в пучке кривых , порожденных C и кривой Гессе C . , кривой Гессе карандаш . [8]
Гессенский многогранник является представлением конфигурации Гессе в комплексной плоскости.
Конфигурация Гессе разделяет с конфигурацией Мёбиуса-Кантора свойство иметь комплексную реализацию, но не реализуема с помощью точек и прямых линий на евклидовой плоскости . В конфигурации Гессе каждые две точки соединены линией конфигурации (определяющее свойство конфигураций Сильвестра – Галлая ), и поэтому каждая линия, проходящая через две ее точки, содержит третью точку. Но на евклидовой плоскости всякое конечное множество точек либо коллинеарно, либо включает пару точек, линия которых не содержит никаких других точек множества; это теорема Сильвестра-Галлая . Поскольку конфигурация Гессе не подчиняется теореме Сильвестра – Галлая, она не имеет евклидовой реализации. Этот пример также показывает, что теорему Сильвестра – Галлаи нельзя обобщить на комплексную проективную плоскость. Однако в комплексных пространствах конфигурация Гессе и все конфигурации Сильвестра – Галлаи должны лежать внутри двумерного плоского подпространства. [9]
Ссылки [ править ]
- ^ Гессе, О. (1844), «Об исключении переменных из трех алгебраических уравнений второй степени с двумя переменными» (PDF) , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 28 : 68–96, doi : 10.1515 /crll.1844.28.68 , ISSN 0075-4102 .
- ^ Уоллес, Эдвард К.; Уэст, Стивен Ф. (2015), Дороги к геометрии (3-е изд.), Waveland Press, стр. 23–24, ISBN 9781478632047
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Макнейш, HF (1942), «Четыре конечных геометрии», The American Mathematical Monthly , 49 : 15–23, doi : 10.2307/2303772 , MR 0005625
- ^ Веблен, Освальд ; Янг, Джон Уэсли (1910), Проективная геометрия , том. Я, Джинн и компания, с. 249
- ^ Долгачев, Игорь В. (2004), «Абстрактные конфигурации в алгебраической геометрии», Конференция Фано , Univ. Турин, Турин, стр. 423–462, arXiv : math.AG/0304258 , MR 2112585 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Коксетер, HSM (1950), «Самодвойственные конфигурации и регулярные графы», Бюллетень Американского математического общества , 56 (5): 413–455, doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Куллинан, Стивен Х. (2011), Конфигурации и квадраты .
- ^ Артебани, Микела; Долгачев, Игорь (2009), «Пучок Гессе плоских кубических кривых», L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv : math/0611590 , doi : 10.4171/lem/55-3- 3 , МР 2583779 .
- ^ Элкис, Ноам ; Преториус, Лу М.; Свейнпол, Конрад Дж. (2006), «Теоремы Сильвестра – Галлаи для комплексных чисел и кватернионов», Дискретная и вычислительная геометрия , 35 (3): 361–373, arXiv : math/0403023 , doi : 10.1007/s00454-005-1226 -7 , МР 2202107 .