Сломанная диагональ

В развлекательной математике и теории магических квадратов ломаная диагональ представляет собой набор из n ячеек, образующих две параллельные диагональные линии в квадрате. Альтернативно, эти две линии можно рассматривать как обтекающие границы квадрата, образуя единую последовательность.

В пандиагональных магических квадратах

Магический квадрат, в котором ломаные диагонали имеют ту же сумму, что и строки, столбцы и диагонали, называется пандиагональным магическим квадратом . ^[1]^[2]

Примеры ломаных диагоналей числового квадрата на изображении следующие: 3,12,14,5; 10,1,7,16; 10,13,7,4; 15,8,2,9; 15,12,2,5; и 6,13,11,4.

Тот факт, что этот квадрат является пандиагональным магическим квадратом, можно проверить, проверив, что сумма всех его ломаных диагоналей равна одной и той же константе:

3+12+14+5 = 34

10+1+7+16 = 34

10+13+7+4 = 34

Один из способов визуализировать ломаную диагональ — представить «призрачный образ» панмагического квадрата, примыкающего к оригиналу:

Набор чисел {3, 12, 14, 5} ломаной диагонали, обернутый вокруг исходного квадрата, можно увидеть, начиная с первого квадрата призрачного изображения и двигаясь вниз влево.

В линейной алгебре

Ломаные диагонали используются в формуле для нахождения определителя 3 на 3 матриц .

Для матрицы A 3 × 3 ее определитель равен

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}\\[3pt]&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\[3pt]&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}

^[3]

Здесь, $bfg,cdh,bdi,$ и $afh$ являются (произведениями элементов) разорванных диагоналей матрицы.

Ломаные диагонали используются при вычислении определителей всех матриц размера 3×3 и более. матрицы Это можно показать, используя миноры для вычисления определителя.

Ссылки

^ Пиковер, Клиффорд А. (2011), Дзен магических квадратов, кругов и звезд: выставка удивительных структур в разных измерениях , Princeton University Press, стр. 7, ISBN 9781400841516 .
^ Ликс, HE (1921), «Отдых в математике» , компания Д. Ван Ностранда, стр. 42 .
^ title=Определитель|url= https://mathworld.wolfram.com/Determinant.html

Эта теории чисел статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Пиковер, Клиффорд А. (2011), Дзен магических квадратов, кругов и звезд: выставка удивительных структур в разных измерениях , Princeton University Press, стр. 7, ISBN 9781400841516 .

[2] Ликс, HE (1921), «Отдых в математике» , компания Д. Ван Ностранда, стр. 42 .

[3] title=Определитель|url= https://mathworld.wolfram.com/Determinant.html

[1]

[2]

[3]