Гессенский многогранник

Гессенский многогранник
Ортографическая проекция (треугольные 3 края обведены черными краями)
Символ Шлефли	3 {3} 3 {3} 3
Диаграмма Кокстера
Лица	27 3 {3} 3
Края	72 3 {}
Вершины	27
Полигон Петри	Додекагон
полигон Ван Осса	12 3 {4} 2
Группа Шепарда	L 3 = 3 [3] 3 [3] 3 , порядок 648
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	Обычный

В геометрии — гессианский многогранник это правильный комплексный многогранник ₃ {3} ₃ {3} ₃ , , в $\mathbb {C} ^{3}$. Он имеет 27 вершин, 72 ₃ {} ребра и 27 ₃ {3} ₃ грани. Оно самодвойственно.

Коксетер назвал его в честь Людвига Отто Гессе за то, что он поделился гессенской конфигурацией. $\left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\end{smallmatrix}}\right]$ или (9 ₄ 12 ₃ ), 9 точек, лежащих по три на двенадцати линиях, по четыре линии через каждую точку.

Его комплексная группа отражений равна ₃ [3] ₃ [3] ₃ или , порядок 648, также называемый группой Гессе . Имеет 27 копий. , порядка 24, в каждой вершине. Он имеет 24 отражения третьего порядка. Его число Кокстера равно 12, а степени фундаментальных инвариантов 3, 6 и 12, что можно увидеть в проективной симметрии многогранников.

Многогранник Виттинга , ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ , содержит гессенский многогранник в виде ячеек и вершинных фигур .

Он имеет реальное представление в виде 2 ₂₁ многогранника , , в 6-мерном пространстве, имеющем одни и те же 27 вершин. 216 ребер в 2 ₂₁ можно рассматривать как 72 ₃ {} ребра, представленные как 3 простых ребра.

Его 27 вершинам можно задать координаты в $\mathbb {C} ^{3}$: для (λ, µ = 0,1,2).

(0, ох ^л ,-ох ^м )

(-ох ^м ,0,ох ^л )

(ой ^л ,-ох ^м ,0)

где $\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$.

Как конфигурация

Гессенский многогранник с треугольными 3-мя ребрами, обведенными черными краями, и одна грань, обведенная синим цветом.

Один из 12 многоугольников Ван Осса, 3 {4} 2 , в гессенском многограннике.

Его симметрия определяется соотношением ₃ [3] ₃ [3] ₃ или , заказ 648.

Матрица конфигурации для ₃ {3} ₃ {3} ₃ :

$\left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]$

Количество элементов k-грани ( f-векторов ) можно прочитать по диагонали. Количество элементов каждой k-грани указано в строках ниже диагонали. Количество элементов каждой k-фигуры указано в строках над диагональю.

LЛ3		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	к -рис	Примечания
LЛ2		( )	ж 0	27	8	8	3 {3} 3	Л 3 /Л 2 = 27*4!/4! = 27
Л 1 Л 1		3 { }	ж 1	3	72	3	3 { }	Л 3 /Л 1 Л 1 = 27*4!/9 = 72
LЛ2		3 {3} 3	ff2	8	8	27	( )	Л 3 /Л 2 = 27*4!/4! = 27

Изображения

Это 8 симметричных ортогональных проекций, некоторые из которых имеют перекрывающиеся вершины, показанные цветами. Здесь 72 треугольных ребра нарисованы как 3 отдельных ребра.

плоскости Кокстера Орфографические проекции

Е6 [12]	Аут(E6) [18/2]	Д5 [8]	Д4/А2 [6]
(1=красный, 3=оранжевый)	(1)	(1,3)	(3,9)
Б6 [12/2]	А5 [6]	A4 [5]	А3/Д3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

Связанные сложные многогранники

Двойной гессенский многогранник
Символ Шлефли	2 {4} 3 {3} 3
Диаграмма Кокстера
Лица	72 2 {4} 3
Края	216 {}
Вершины	54
Полигон Петри	Октадекагон
полигон Ван Осса	{6}
Группа Шепарда	М 3 = 3 [3] 3 [4] 2 , порядок 1296
Двойной многогранник	Выпрямленный гессенский многогранник, 3 {3} 3 {4} 2
Характеристики	Обычный

Гессенский многогранник можно рассматривать как чередование , = . Этот двойной гессианский многогранник имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 вершины. лица. Его вершины представляют собой объединение вершин и его двойственность .

Его комплексная группа отражений равна ₃ [3] ₃ [4] ₂ , или , заказ 1296. Имеет 54 экз. , порядка 24, в каждой вершине. Он имеет 24 отражения третьего порядка и 9 отражений второго порядка. Его число Кокстера равно 18, а степени фундаментальных инвариантов 6, 12 и 18, что можно увидеть в проективной симметрии многогранников.

Коксетер отметил, что три комплексных многогранника , , напоминают настоящий тетраэдр ( ), куб ( ) и октаэдр ( ). Гессиан аналогичен тетраэдру, как куб — ​​двойной тетраэдр , а октаэдр — выпрямленный тетраэдр. В обоих множествах вершины первого принадлежат двум дуальным парам второго, а вершины третьего находятся в центре ребер второго.

В его реальном представлении 54 вершины содержатся в двух многогранниках 2 ₂₁ в симметричных конфигурациях: и . Его вершины также можно увидеть в двойственном многограннике 1 ₂₂ .

Строительство

Элементы можно увидеть в матрице конфигурации :

M 3		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	к -рис	Примечания
LЛ2		( )	ж 0	54	8	8	3 {3} 3	М 3 /Л 2 = 1296/24 = 54
Л 1 А 1		{ }	ж 1	2	216	3	3 { }	M 3 /L 1 A 1 = 1296/6 = 216
MМ2		2 {4} 3	ff2	6	9	72	( )	М 3 /М 2 = 1296/18 = 72

Изображения

Орфографические проекции

многогранник

многогранник с одной гранью, 2 {4} 3 выделен синим цветом

многогранник с 54 вершинами, в двух чередующихся цветах

и , показанные здесь с красными и синими вершинами, образуют правильное соединение

Выпрямленный гессенский многогранник

Выпрямленный гессенский многогранник
Символ Шлефли	3 {3} 3 {4} 2
Диаграммы Кокстера	или .
Лица	54 3 {3} 3
Края	216 3 {}
Вершины	72
Полигон Петри	Октадекагон
полигон Ван Осса	9 3 {4} 3
Группа Шепарда	М 3 = 3 [3] 3 [4] 2 , порядок 1296 3 [3] 3 [3] 3 , заказ 648
Двойной многогранник	Двойной гессенский многогранник 2 {4} 3 {3} 3
Характеристики	Обычный

Исправление ​ , удваивается по симметрии как правильный комплексный многогранник с 72 вершинами, 216 ₃ {} ребрами, 54 ₃ {3} ₃ гранями. Его вершинная фигура равна ₃ {4} ₂ , а многоугольник Ван Осса ₃ {4} ₃ . Он двойственен двойному гессенскому многограннику .

Он имеет реальное представление в виде многогранника 1 ₂₂ , , разделяя 72 вершины. Его 216 трехребер можно нарисовать как 648 простых ребер, что на 72 меньше, чем 1 ₂₂ 720 ребер.

или имеет 72 вершины, 216 трёхрёбер и 54 лица

с одним синим лицом, выделено

с одним из 9 полигонов Ван Осс, , 3 {4} 3 , выделено

Строительство

Элементы можно увидеть в двух матрицах конфигурации : регулярной и квазирегулярной форме.

M ₃ = ₃ [3] ₃ [4] ₂ symmetry

M 3		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	к -рис	Примечания
MМ2		( )	ж 0	72	9	6	3 {4} 2	М 3 /М 2 = 1296/18 = 72
Л 1 А 1		3 { }	ж 1	3	216	2	{ }	M 3 /L 1 A 1 = 1296/3/2 = 216
LЛ2		3 {3} 3	ff2	8	8	54	( )	М 3 /Л 2 = 1296/24 = 54

L ₃ = ₃ [3] ₃ [3] ₃ симметрия

LЛ3		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2		к -рис	Примечания
Л 1 Л 1		( )	ж 0	72	9	3	3	3 { }× 3 { }	Л 3 /Л 1 Л 1 = 648/9 = 72
Л 1		3 { }	ж 1	3	216	1	1	{ }	Л 3 /Л 1 = 648/3 = 216
LЛ2		3 {3} 3	ff2	8	8	27	*	( )	Л 3 /Л 2 = 648/24 = 27
				8	8	*	27

Ссылки

• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ; Генераторы и отношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
• Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , Издательство Кембриджского университета, (1974).
• Коксетер, HSM и Шепард, GC; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4 (1992), стр. 239–244,