Многоугольник Мёбиуса – Офиса

Многоугольник Мёбиуса – Офиса
8 3-ребер (4 красных, 4 зеленых) симметрично проецируются в 8 вершин квадратной антипризмы .
Символ пастуха	3(24)3
Символ Шлефли	₃{3} ₃
Диаграмма Кокстера
Края	8 ₃{}
Вершины	8
Полигон Петри	Октагон
Группа Шепарда	₃ [3] ₃ , порядок 24
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	Обычный

В геометрии многоугольник Мёбиуса –Кантора — это правильный комплексный многоугольник ₃ {3} ₃ , , в $\mathbb {C} ^{2}$ . ₃ {3} ₃ имеет 8 вершин и 8 ребер. Оно самодвойственно. Каждая вершина разделена тремя треугольными ребрами. ^{[ 1 ]} Коксетер назвал его многоугольником Мёбиуса-Кантора за то, что он разделяет сложную конфигурационную структуру с конфигурацией Мёбиуса-Кантора (8 ₃ ). ^{[ 2 ]}

Обнаруженный Г.К. Шепардом в 1952 году, он представил его как 3(24)3, а его симметрию Коксетер назвал ₃ [3] ₃ , изоморфной бинарной тетраэдрической группе порядка 24.

Координаты

Координаты 8 вершин этого многоугольника могут быть заданы в виде $\mathbb {C} ^{3}$ , как:

( ω ,−1,0)	(0, ω ,− ω ²)	( ой ²,−1,0)	(−1,0,1)
(− ω ,0,1)	(0, ох ²,− ω )	(− о ²,0,1)	(1,−1,0)

где $\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ .

В качестве конфигурации

Матрица конфигурации для ₃ {3} ₃ : ^{[ 3 ]} $\left[{\begin{smallmatrix}8&3\\3&8\end{smallmatrix}}\right]$

Его структуру можно представить в виде гиперграфа , соединяющего 8 узлов 8 гиперребрами из трех узлов.

Реальное представительство

Он имеет реальное представление как 16-клеточный , , в 4-мерном пространстве, имеющем одни и те же 8 вершин. 24 ребра в 16-ячейке видны в многоугольнике Мёбиуса-Кантора, когда 8 треугольных ребер нарисованы как 3-отдельные ребра. Треугольники представлены 2 наборами по 4 красных или синих контура. Проекции B ₄ даны в двух различных ориентациях симметрии между двумя наборами цветов.

орфографические проекции
Самолет	Б ₄		F_F4
График
Симметрия	[8]		[12/3]

Многоугольник ₃ {3} ₃ можно увидеть в правильной косой многогранной сети внутри 16-ячеечной сети с 8 вершинами, 24 ребрами и 16 из 32 граней. Альтернативные желтые треугольные грани, интерпретируемые как 3-ребра, образуют две копии многоугольника ₃ {3} ₃ .

Связанные многогранники

На этом графике показаны два чередующихся многоугольника красного и синего цвета ₃ {3} ₃ в двойных положениях.	₃{6} ₂, или , с 24 вершинами черного цвета и 16 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов. ^{[ 4 ]}

Это также можно рассматривать как чередование , представленный как . имеет 16 вершин и 24 ребра. Соединение двух, в двойных позициях, и , можно представить как , содержит все 16 вершин .

Усечение , то же самое, что и правильный многоугольник, ₃ {6} ₂ , . Его реберная диаграмма представляет собой диаграмму Кэли для ₃ [3] ₃ .

Правильный многогранник Гессе ₃ {3} ₃ {3} ₃ , имеет этот многоугольник как фасет и фигуру вершины .

Примечания

^ Коксетер и Шепард, 1991, стр.30 и стр.47.
^ Коксетер и Шепард, 1992 г.
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр. 117, 132.
^ Коксетер, Правильные комплексные многогранники, с. 109

Ссылки

Шепард, Греция ; Правильные комплексные многогранники, Учеб. Лондонская математика. Соц. Серия 3, Том 2 (1952), стр. 82–97.
Коксетер, HSM и Мозер, WOJ; Генераторы и отношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, (1974), второе издание (1991).
Коксетер, HSM и Шепард, GC; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244 [1]

[1] Коксетер и Шепард, 1991, стр.30 и стр.47.

[2] Коксетер и Шепард, 1992 г.

[3] Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр. 117, 132.

[4] Коксетер, Правильные комплексные многогранники, с. 109

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]