Правильный сложный многоугольник

Три вида правильного комплексного многоугольника ₄ {4} ₂ ,

Этот сложный многоугольник имеет 8 ребер (сложных линий), обозначенных как .. , h и 16 вершин. В каждом ребре лежат четыре вершины и в каждой вершине пересекаются два ребра. На левом изображении обведенные квадраты не являются элементами многогранника, а включены просто для того, чтобы помочь идентифицировать вершины, лежащие на одной сложной линии. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, а является многоугольником Петри . На среднем изображении каждое ребро представлено в виде реальной линии, и четыре вершины в каждой линии видны более четко.

Перспективный эскиз, представляющий 16 вершинных точек в виде больших черных точек и 8 4-ребер в виде ограниченных квадратов внутри каждого ребра. Зеленый путь представляет собой восьмиугольный периметр левого изображения.

Комплексные 1-многогранники, представленные на плоскости Аргана в виде правильных многоугольников для p = 2, 3, 4, 5 и 6, с черными вершинами. Центр тяжести вершин p показан красным. Стороны многоугольников представляют собой одно применение генератора симметрии, сопоставляющее каждую вершину со следующей копией, расположенной против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются реберными элементами многогранника, поскольку комплексный 1-многогранник не может иметь ребер (часто это комплексное ребро) и содержит только вершинные элементы.

В геометрии правильный комплексный многоугольник — это обобщение правильного многоугольника в реальном пространстве до аналогичной структуры в комплексном гильбертовом пространстве , где каждое действительное измерение сопровождается мнимым . Правильный многоугольник существует в двух действительных измерениях: $\mathbb {R} ^{2}$, хотя сложный многоугольник существует в двух комплексных измерениях, $\mathbb {C} ^{2}$, которым можно дать реальные представления в 4 измерениях, $\mathbb {R} ^{4}$, который затем необходимо спроецировать на 2 или 3 реальных измерения для визуализации. Комплексный многоугольник обобщается как комплексный многогранник в $\mathbb {C} ^{n}$.

Сложный многоугольник можно понимать как совокупность сложных точек, линий, плоскостей и т. д., где каждая точка является соединением нескольких линий, каждая линия нескольких плоскостей и т. д.

Правильные комплексные многоугольники полностью охарактеризованы и могут быть описаны с использованием символических обозначений, разработанных Коксетером .

Правильный комплексный многоугольник со всеми 2-ребрами может быть представлен графом , а формы с k -ребрами могут быть связаны только гиперграфами . K . -ребро можно рассматривать как набор вершин без какого-либо порядка Их можно нарисовать с попарными 2-ребрами, но это структурно неверно.

Правильные сложные многоугольники

В то время как 1-многогранники могут иметь неограниченное количество p , конечные правильные комплексные многоугольники, за исключением многоугольников с двойной призмой _p {4} ₂ , ограничены элементами с 5 ребрами (пятиугольными ребрами), а бесконечные правильные апейрогоны также включают 6 ребер (шестиугольные ребра). элементы.

Обозначения

Модифицированная нотация Шепарда Шлефли

Первоначально Шепард разработал модифицированную форму обозначения Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного p ₁ -ребрами, с p ₂ -множеством в качестве вершины и общей группой симметрии порядка g , мы обозначаем многоугольник как p ₁ ( g ) p ₂ .

количество вершин V Тогда равно g / p ₂ , а количество ребер E равно g / p ₁ .

Сложный многоугольник, показанный выше, имеет восемь квадратных ребер ( p ₁ =4) и шестнадцать вершин ( p ₂ =2). Отсюда мы можем определить, что g = 32, что дает модифицированный символ Шлефли 4(32)2.

Пересмотренная модифицированная нотация Шлефли Коксетера

Более современное обозначение _{p 1} { q } _{p 2} принадлежит Кокстеру , и основан на теории групп. Как группа симметрии, ее символ — _{p 1} [ q ] _{p 2} .

Группа симметрии _{p 1} [ q ] _{p 2} представлена ​​2 образующими R ₁ , R ₂ , где: R ₁ ^{п ₁} = _Р2 ^{п ₂} = I. Если q четное, (R ₂ R ₁ ) ^{д /2} = (р ₁ р ₂ ) ^{д /2} . Если q нечетно, (R ₂ R ₁ ) ^{( q −1)/2} р ₂ = (р ₁ р ₂ ) ^{( q −1)/2} Р ₁ . Когда q нечетно p1 _​ = p2 _, .

Для ₄ [4] ₂ имеет R ₁ ⁴ = _Р2 ² = Я, (Р ₂ Р ₁ ) ² = (р ₁ р ₂ ) ² .

Для ₃ [5] ₃ имеет R ₁ ³ = _Р2 ³ = Я, (Р ₂ Р ₁ ) ² р ₂ = (р ₁ р ₂ ) ² Р1 _.

Диаграммы Кокстера – Дынкина

Коксетер также обобщил использование диаграмм Кокстера – Дынкина на сложные многогранники, например, комплексный многоугольник _p { q } _r представлен как и эквивалентная группа симметрии _p [ q ] _r представляет собой диаграмму без колец. . Узлы p и r представляют собой зеркала, создающие изображения p и r в плоскости. Непомеченные узлы на диаграмме имеют две неявные метки. Например, настоящий правильный многоугольник — это ₂ { q } ₂ или { q } или .

Одно ограничение: узлы, соединенные нечетными порядками ветвей, должны иметь одинаковые порядки узлов. Если этого не сделать, группа создаст «звездные» полигоны с перекрывающимися элементами. Так и являются обычными, в то время как звездный.

12 неприводимых групп Шепарда

12 неприводимых групп Шепарда с отношениями индексов их подгрупп.	Подгруппы из <5,3,2> 30 , <4,3,2> 12 и <3,3,2> 6
Подгруппы связаны удалением одного отражения: p [2 q ] 2 --> p [ q ] p , индекс 2 и p [4] q --> p [ q ] p , индекс q .

_p [4] ₂ подгруппы: p=2,3,4...
_p [4] ₂ --> [ p ], индекс p
_p [4] ₂ --> _p [] × _p [], индекс 2

Коксетер перечислил этот список правильных комплексных многоугольников в $\mathbb {C} ^{2}$. Правильный комплексный многоугольник, _p { q } _r или , имеет p -ребра и r -угольные вершинные фигуры . _p { q } _r — конечный многогранник, если ( p + r ) q > pr ( q − 2).

Ее симметрия записывается как _p [ q ] _r , называемая группой Шепарда , аналогичной группе Кокстера , но также допускающей унитарные отражения .

Для незвездных групп порядок группы _p [ q ] _r можно вычислить как $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$.

Число Кокстера для _p [ q ] _r равно $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$, поэтому порядок группы также можно вычислить как $g=2h^{2}/q$. Правильный комплексный многоугольник можно нарисовать в ортогональной проекции с h -угольной симметрией.

Решения ранга 2, которые генерируют сложные многоугольники:

Группа	Г 3 = Г( q ,1,1)	Г2 , = Г( р 1,2)	Г 4	Г 6	Г 5	Г 8	Г 14	GG9	Г 10	GG20	Г 16	Г 21	Г 17	Г 18
	2 [ q ] 2 , q = 3,4...	р [4] 2 , р = 2,3...	3 [3] 3	3 [6] 2	3 [4] 3	4 [3] 4	3 [8] 2	4 [6] 2	4 [4] 3	3 [5] 3	5 [3] 5	3 [10] 2	5 [6] 2	5 [4] 3
Заказ	2 кв.	2 р 2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
час	д	2 р	6	12			24			30		60

Исключенные решения с нечетным q и неравными p и r : ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ и ₃ [11] ₂ .

Другие целые q с неравными p и r создают звездные группы с перекрывающимися фундаментальными областями: , , , , , и .

Двойной многоугольник _p { q } _r — это _r { q } _p . Многоугольник вида _p { q } _p самодвойственный. Группы вида _p [2 q ] ₂ обладают полусимметрией _p [ q ] _p , поэтому правильный многоугольник то же самое, что и квазирегулярный . А также правильный многоугольник с тем же порядком узлов, , имеют альтернативную конструкцию , что позволяет смежным краям иметь два разных цвета.

Порядок группы g используется для вычисления общего количества вершин и ребер. Он будет иметь вершины g / r и ребра g / p . Когда p = r , количество вершин и ребер одинаково. Это условие требуется, когда q нечетно.

Матричные генераторы

Группа p [ q ] r , , можно представить двумя матрицами:

Имя	Р 1	Р 2
Заказ	п	р
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\\0&e^{2\pi i/r}\end{smallmatrix}}\right]$

С

$k={\sqrt {\frac {\cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+\cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}$

Примеры

Имя Р 1 Р 2 Заказ п д Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&e^{2\pi i/q}\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ п 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ 3 3 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}\\0&{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\\\end{smallmatrix}}\right]$
Имя Р 1 Р 2 Заказ 4 4 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&i\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ 4 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ 3 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&-2\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

Перечисление правильных комплексных многоугольников

Коксетер перечислил комплексные многоугольники в Таблице III Правильных комплексных многогранников.

Группа	Заказ	Коксетер число	Полигон		Вершины	Края		Примечания
г ( д , д ,2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q = 2,3,4,...	2 кв.	д	2 { q } 2		д	д	{}	Настоящие правильные многоугольники То же, что То же, что если q четное

Группа	Заказ	Коксетер число	Полигон			Вершины	Края		Примечания
Г( п ,1,2) п [4] 2 р=2,3,4,...	2 р 2	2 р	р (2 р 2 )2	п {4} 2		п 2	2 р	п {}	то же, что p {} × p {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде p - p- дуопризмы
			2( 2п 2 ) п	2 {4} п		2 р	п 2	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде p - p- дуопирамиды
Г(2,1,2) 2 [4] 2 = [4]	8	4		2 {4} 2 = {4}		4	4	{}	то же, что {}×{} или Реальная площадь
Г(3,1,2) 3 [4] 2	18	6	6(18)2	3 {4} 2		9	6	3 {}	то же, что 3 {} × 3 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представительство в виде 3-3 дуопризмы
			2(18)3	2 {4} 3		6	9	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 3-3 дуопирамид
Г(4,1,2) 4 [4] 2	32	8	8(32)2	4 {4} 2		16	8	4 {}	то же, что 4 {} × 4 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопризм или {4,3,3}
			2(32)4	2 {4} 4		8	16	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопирамиды или {3,3,4}
Г(5,1,2) 5 [4] 2	50	25	5(50)2	5 {4} 2		25	10	5 {}	то же, что 5 {}× 5 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представительство в виде 5-5-дуопризмы
			2(50)5	2 {4} 5		10	25	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 5-5-дуопирамиды
Г(6,1,2) 6 [4] 2	72	36	6(72)2	6 {4} 2		36	12	6 {}	то же, что 6 {} × 6 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представительство в виде 6-6 дуопризм
			2(72)6	2 {4} 6		12	36	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 6-6 дуопирамид
Г 4 =Г(1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3(24)3	3 {3} 3		8	8	3 {}	Конфигурация Мёбиуса – Кантора самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,4}
Г 6 3 [6] 2	48	12	3(48)2	3 {6} 2		24	16	3 {}	то же, что
				3 {3} 2					звездный многоугольник
			2(48)3	2 {6} 3		16	24	{}
				2 {3} 3					звездный многоугольник
Г 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	3 {4} 3		24	24	3 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
Г 8 4 [3] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4		24	24	4 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
Г 14 3 [8] 2	144	24	3(144)2	3 {8} 2		72	48	3 {}	то же, что
				3 {8/3} 2					звездный многоугольник, то же самое, что и
			2(144)3	2 {8} 3		48	72	{}
				2 {8/3} 3					звездный многоугольник
GG9 4 [6] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2		96	48	4 {}	то же, что
			2(192)4	2 {6} 4		48	96	{}
				4 {3} 2		96	48	{}	звездный многоугольник
				2 {3} 4		48	96	{}	звездный многоугольник
Г 10 4 [4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3		96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3					звездный многоугольник
		24	3(288)4	3 {4} 4		72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4					звездный многоугольник
GG20 3 [5] 3	360	30	3(360)3	3 {5} 3		120	120	3 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
				3 {5/2} 3					самодвойственный звездный многоугольник
Г 16 5 [3] 5	600	30	5(600)5	5 {3} 5		120	120	5 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
		10		5 {5/2} 5					самодвойственный звездный многоугольник
Г 21 3 [10] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2		360	240	3 {}	то же, что
				3 {5} 2					звездный многоугольник
				3 {10/3} 2					звездный многоугольник, то же самое, что и
				3 {5/2} 2					звездный многоугольник
			2(720)3	2 {10} 3		240	360	{}
				2 {5} 3					звездный многоугольник
				2 {10/3} 3					звездный многоугольник
				2 {5/2} 3					звездный многоугольник
Г 17 5 [6] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2		600	240	5 {}	то же, что
		20		5 {5} 2					звездный многоугольник
		20		5 {10/3} 2					звездный многоугольник
		60		5 {3} 2					звездный многоугольник
		60	2(1200)5	2 {6} 5		240	600	{}
		20		2 {5} 5					звездный многоугольник
		20		2 {10/3} 5					звездный многоугольник
		60		2 {3} 5					звездный многоугольник
Г 18 5 [4] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3		600	360	5 {}
		15		5 {10/3} 3					звездный многоугольник
		30		5 {3} 3					звездный многоугольник
		30		5 {5/2} 3					звездный многоугольник
		60	3(1800)5	3 {4} 5		360	600	3 {}
		15		3 {10/3} 5					звездный многоугольник
		30		3 {3} 5					звездный многоугольник
		30		3 {5/2} 5					звездный многоугольник

Визуализации правильных сложных многоугольников

2D-графики

Многоугольники формы _p {2 r } _q можно визуализировать с помощью q наборов цветов p -ребра. Каждое p -ребро рассматривается как правильный многоугольник, при этом грани отсутствуют.

Комплексные многоугольники ₂ { r } _q

Многоугольники вида ₂ {4} _q называются обобщенными ортоплексами . Они имеют общие вершины с 4D q - - q дуопирамидами , вершины которых соединены 2-ребрами.

• 
  ₂ {4} ₂ , , с 4 вершинами и 4 ребрами
• 
  ₂ {4} ₃ , , с 6 вершинами и 9 ребрами
• 
  ₂ {4} ₄ , , с 8 вершинами и 16 ребрами
• 
  ₂ {4} ₅ , , с 10 вершинами и 25 ребрами
• 
  ₂ {4} ₆ , , с 12 вершинами и 36 ребрами
• 
  ₂ {4} ₇ , , с 14 вершинами и 49 ребрами
• 
  ₂ {4} ₈ , , с 16 вершинами и 64 ребрами
• 
  ₂ {4} ₉ , , с 18 вершинами и 81 ребром
• 
  ₂ {4} ₁₀ , , с 20 вершинами и 100 ребрами

Комплексные многоугольники _p {4} ₂

Многоугольники вида _p {4} ₂ называются обобщенными гиперкубами (квадратами для многоугольников). Они имеют общие вершины с 4D p - p дуопризмами , вершины которых соединены p-ребрами. Вершины рисуются зеленым цветом, а p -ребра — чередующимися цветами: красным и синим. Перспектива немного искажается для нечетных размеров, чтобы переместить перекрывающиеся вершины из центра.

• 
  ₂ {4} ₂ , или , с 4 вершинами и 4 2-ребрами
• 
  ₃ {4} ₂ , или , с 9 вершинами и 6 (треугольными) 3-ребрами
• 
  ₄ {4} ₂ , или , с 16 вершинами и 8 (квадратными) 4-ребрами
• 
  ₅ {4} ₂ , или , с 25 вершинами и 10 (пятиугольными) 5-ребрами
• 
  ₆ {4} ₂ , или , с 36 вершинами и 12 (шестиугольными) 6-ребрами
• 
  ₇ {4} ₂ , или , с 49 вершинами и 14 (семиугольными)7-ребрами
• 
  ₈ {4} ₂ , или , с 64 вершинами и 16 (восьмиугольными) 8-ребрами
• 
  ₉ {4} ₂ , или , с 81 вершиной и 18 (эннеагональными) 9-ребрами
• 
  ₁₀ {4} ₂ , или , со 100 вершинами и 20 (десятиугольными) 10-ребрами

Комплексные многоугольники _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ , или , с 24 вершинами черного цвета и 16 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов.
• 
  ₃ {8} ₂ , или , с 72 вершинами черного цвета и 48 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов.

Комплексные многоугольники, _p { r } _p

Многоугольники вида _p { r } _p имеют одинаковое количество вершин и ребер. Они также самодвойственны.

• 
  ₃ {3} ₃ , или , с 8 вершинами черного цвета и 8 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов.
• 
  ₃ {4} ₃ , или , с 24 вершинами и 24 3-ребрами, показанными в 3 наборах цветов, один набор заполнен
• 
  ₄ {3} ₄ , или , с 24 вершинами и 24 4-ребрами, показанными в 4 наборах цветов.
• 
  ₃ {5} ₃ , или , со 120 вершинами и 120 3-ребрами
• 
  ₅ {3} ₅ , или , со 120 вершинами и 120 5-ребрами

3D перспектива

Трехмерные перспективные проекции сложных многоугольников _p {4} ₂ могут отображать точечно-реберную структуру сложного многоугольника без сохранения масштаба.

Двойственные ₂ {4} _p : можно увидеть, добавив вершины внутри ребер и добавив ребра вместо вершин.

• 
  ₂ {4} ₃ , с 6 вершинами, 9 ребрами в 3 наборах
• 
  ₃ {4} ₂ , с 9 вершинами, 6 3-ребрами в 2 наборах цветов как
• 
  ₄ {4} ₂ , с 16 вершинами, 8 4-ребрами в 2 наборах цветов и заполненными квадратными 4-ребрами, как
• 
  ₅ {4} ₂ , с 25 вершинами, 10 5-ребрами в 2 наборах цветов, как

Квазиправильные многоугольники

Квазиправильный усечение многоугольник – это правильного многоугольника. Квазиправильный многоугольник содержит альтернативные ребра правильных многоугольников и . Квазиправильный многоугольник имеет p вершин на p-ребрах правильной формы.

Пример квазиправильных многоугольников

п [ q ] р	2 [4] 2	3 [4] 2	4 [4] 2	5 [4] 2	6 [4] 2	7 [4] 2	8 [4] 2	3 [3] 3	3 [4] 3
Обычный	4 2-кромки	9 трехгранных	16 4-лезвий	25 5-гранных	36 6-гранных	49 7-гранных	64 8-гранных
Квазирегулярный	= 4+4 2-ребра	6 2-кромочные 9 трехгранных	8 2-кромочные 16 4-лезвий	10 2-кромочных 25 5-гранных	12 2-кромочные 36 6-гранных	14 2-кромочные 49 7-гранных	16 2-кромочные 64 8-гранных	=	=
Обычный	4 2-кромки	6 2-кромочные	8 2-кромочные	10 2-кромочных	12 2-кромочные	14 2-кромочные	16 2-кромочные

Ссылки

• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ; Генераторы и отношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
• Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-39490-2
• Коксетер, HSM и Шепард, GC; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4 (1992), стр. 239–244,
• Шепард, GC; Правильные комплексные многогранники , Учеб. Лондонская математика. Соц. Серия 3, Том 2 (1952), стр. 82–97.
• Шепард, Греция ; Тодд, Дж. А. (1954), «Конечные унитарные группы отражений», Canadian Journal of Mathematics , 6 : 274–304, doi : 10.4153/cjm-1954-028-3 , MR   0059914
• Густав И. Лерер и Дональд Э. Тейлор, Группы унитарного отражения , Cambridge University Press, 2009 г.