Дуопризма

Набор однородных $pq$ дуопризм
Тип	Призматические однородные 4-многогранники
Символ Шлефли	${п} \times {q}$
Диаграмма Кокстера-Динкина
Клетки	$pq$ -угольные призмы , $qp$ -угольные призмы
Лица	$pq$ квадраты , $pq$ -угольники, $qp$ -угольники
Края	$2 шт.$
Вершины	$ПК$
Вершинная фигура	дисфеноид
Симметрия	$[p,2, q]$ порядка $4 pq$
Двойной	$pq$ дуопирамида
Характеристики	выпуклый , вершинно-однородный

Набор однородных пп дуопризм
Тип	Призматический однородный 4-многогранник
Символ Шлефли	${п}\times{п}$
Диаграмма Кокстера-Динкина
Клетки	$2 п п$ -угольные призмы
Лица	$п 2$ квадраты , $2 p p$ -угольники
Края	$2 р 2$
Вершины	$п 2$
Симметрия	$[п,2, п] = [2 п,2 +,2 п],$ порядок $8 п 2$
Двойной	$ПП$ дуопирамида
Характеристики	выпуклый , вершинно-равномерный , фасетно-транзитивный

В геометрии 4 измерений и выше двойная призма ^[1] или дуопризма - это многогранник, полученный в результате декартова произведения двух многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Декартово произведение $n-$ многогранника и $m$ -многогранника представляет собой $(n + m)$ -многогранник, где $n$ и $m$ — размеры 2 ( polygon ) или выше.

низшей размерности Дуопризмы существуют в 4-мерном пространстве как 4-многогранники, являющиеся декартовым произведением двух многоугольников в 2-мерном евклидовом пространстве . Точнее, это набор точек:

P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,z,w)|(x,y)\in P_{1},(z,w)\in P_{2}\}

где $P 1$ и $P 2$ - множества точек, содержащихся в соответствующих многоугольниках. Такая дуопризма является выпуклой , если оба основания выпуклы, и ограничена призматическими ячейками .

Номенклатура

Четырехмерные дуопризмы считаются призматическими 4-многогранниками. Дуопризма, построенная из двух правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, является однородной дуопризмой .

Дуопризма, состоящая из n -многоугольников и m -полигонов, называется путем добавления к слову «дуопризма» имен основных многоугольников, например: треугольно-пятиугольная дуопризма - это декартово произведение треугольника и пятиугольника.

Альтернативный, более краткий способ указать конкретную дуопризму — добавить к ней префикс чисел, обозначающих базовые многоугольники, например: 3,5-дуопризма для треугольно-пятиугольной дуопризмы.

Другие альтернативные названия:

q -угольная- p -угольная призма
q -угольная- p -угольная двойная призма
q -угольная- p -угольная гиперпризма

Термин дуопризма придуман Георгием Ольшевским, сокращенно от двойной призмы . Джон Хортон Конвей предложил аналогичное название «пропризма» для призмы произведения , декартова произведения двух или более многогранников размерностью не менее двух. Дуопризмы — это пропризмы, образованные ровно из двух многогранников.

Пример 16-16 дуопризмы

Диаграмма Шлегеля Показаны проекции из центра одной 16-угольной призмы и всех противоположных 16-угольных призм, кроме одной.	сеть Показаны два набора 16-угольных призм. Верхняя и нижняя грани вертикального цилиндра соединяются при складывании в 4D.

Геометрия 4-мерных дуопризм

4-мерная однородная дуопризма создается произведением правильного n -стороннего многоугольника и правильного m -стороннего многоугольника с одинаковой длиной ребра. Он ограничен n m -угольными призмами и m n -угольными призмами. Например, декартово произведение треугольника и шестиугольника представляет собой дуопризму, ограниченную 6 треугольными призмами и 3 шестиугольными призмами.

Когда m и n одинаковы, полученная дуопризма ограничена 2 n одинаковыми n -угольными призмами. Например, декартово произведение двух треугольников представляет собой дуопризму, ограниченную шестью треугольными призмами.
Когда m и n тождественно равны 4, результирующая дуопризма ограничена 8 квадратными призмами ( кубами ) и идентична тессеракту .

m - угольные призмы прикреплены друг к другу через m -угольные грани и образуют замкнутый контур. Точно так же n -угольные призмы прикреплены друг к другу своими n -угольными гранями и образуют вторую петлю, перпендикулярную первой. Эти две петли прикреплены друг к другу своими квадратными гранями и взаимно перпендикулярны.

Когда m и n стремятся к бесконечности, соответствующие дуопризмы приближаются к дуоцилиндру . Таким образом, дуопризмы полезны как неквадратичная аппроксимация дуоцилиндра.

Сети

3-3
3-4	4-4
3-5	4-5	5-5
3-6	4-6	5-6	6-6
3-7	4-7	5-7	6-7	7-7
3-8	4-8	5-8	6-8	7-8	8-8
3-9	4-9	5-9	6-9	7-9	8-9	9-9
3-10	4-10	5-10	6-10	7-10	8-10	9-10	10-10

Перспективные прогнозы

Перспективная проекция, центрированная на ячейках, делает дуопризму похожей на тор с двумя наборами ортогональных ячеек: p-угольной и q-угольной призмой.

Диаграммы Шлегеля
6-призма	6-6 дуопризма

Шестиугольная призма , спроецированная на плоскость перспективой, с центром на шестиугольной грани, выглядит как двойной шестиугольник, соединенный (искаженными) квадратами . Точно так же дуопризма 6-6, проецируемая в 3D, приближается к тору , шестиугольному как в плане, так и в сечении.

Дуопризмы pq идентичны дуопризмам qp, но в этих проекциях выглядят по-разному, поскольку проецируются в центры разных клеток.

Диаграммы Шлегеля
3-3	3-4	3-5	3-6	3-7	3-8
4-3	4-4	4-5	4-6	4-7	4-8
5-3	5-4	5-5	5-6	5-7	5-8
6-3	6-4	6-5	6-6	6-7	6-8
7-3	7-4	7-5	7-6	7-7	7-8
8-3	8-4	8-5	8-6	8-7	8-8

Ортогональные проекции

Вершинно-центрированные ортогональные проекции pp-дуопризм проецируются в симметрию [2n] для нечетных степеней и [n] для четных степеней. В центр проецируются n вершин. Для 4,4 он представляет собой _{A 3} плоскость Кокстера тессеракта . Проекция 5,5 идентична трехмерному ромбическому триаконтаэдру .

Каркасы ортогональных проекций пп-дуопризм
Странный
3-3		5-5		7-7		9-9

[3]	[6]	[5]	[10]	[7]	[14]	[9]	[18]
Даже
4-4 (тессеракт)		6-6		8-8		10-10

[4]	[8]	[6]	[12]	[8]	[16]	[10]	[20]

Связанные многогранники

Стереографическая проекция вращающегося дуоцилиндра , разделенного на шахматную поверхность квадратов косого многогранника {4,4|n}.

Правильный косой многогранник {4,4|n} существует в 4-мерном пространстве как n ² квадратные грани дуопризмы nn , используя все 2n ² края и н ² вершины. 2 n n -угольные грани можно рассматривать как удаленные. (косые многогранники можно увидеть таким же образом с помощью нм-дуопризмы, но они не являются правильными .)

Дуоантипризма

Подобно антипризмам как чередующимся призмам , существует набор 4-мерных дуоантипризм: 4-многогранники , которые могут быть созданы с помощью операции чередования , примененной к дуопризме. Чередованные вершины создают неправильные тетраэдрические ячейки, за исключением особого случая, дуопризмы 4-4 ( тессеракт ), который создает однородную (и правильную) 16-ячеистую структуру . 16-ячеечная — единственная выпуклая однородная дуоантипризма.

Дуопризмы , t _0,1,2,3 {p,2,q}, можно заменить на , ht _0,1,2,3 {p,2,q} — «дуоантипризмы», которые вообще невозможно сделать однородными. Единственное выпуклое равномерное решение — это тривиальный случай p=q=2, который представляет собой конструкцию более низкой симметрии тессеракта . , t _0,1,2,3 {2,2,2}, с его чередованием в виде 16-клеточного , , с{2}с{2}.

Единственное невыпуклое равномерное решение — это p=5, q=5/3, ht _0,1,2,3 {5,2,5/3}, , построенная из 10 пятиугольных антипризм , 10 пентаграммных скрещенных антипризм и 50 тетраэдров, известная как большая дуоантипризма (гудап). ^[2]^[3]

Дитетраголтриаты

Также родственными являются дитетраголтриаты или октаголтриаты, образованные путем преобразования восьмиугольника ( считающегося дитетрагоном или усеченным квадратом) в p-угольник. Восьмиугольник p-угольника можно четко определить , если предположить, что восьмиугольник представляет собой выпуклую оболочку двух перпендикулярных прямоугольников ; тогда p-гональный дитетраголтриат представляет собой выпуклую оболочку двух pp-дуопризм (где p-угольники похожи, но не конгруэнтны, имеют разные размеры) в перпендикулярной ориентации. Полученный полихорон изогональный и имеет 2p p-угольные призмы и p ² прямоугольные трапеции ( куб с симметрией D _2d ), но нельзя сделать однородным. Вершинная фигура представляет собой треугольную бипирамиду .

Двойные антипризмоиды

Подобно дуоантипризмам как чередующимся дуопризмам, существует набор p-гональных двойных антипризмоидов, созданных путем чередования 2p-гональных дитетраголтриатов, создания p-гональных антипризм и тетраэдров при переосмыслении некоралмических треугольных бипирамидальных пространств как двух тетраэдров. Полученная фигура, как правило, неоднородна, за исключением двух случаев: большой антипризмы и ее сопряженного, пентаграммного двойного антипризмоида (с p = 5 и 5/3 соответственно), представленного как чередование декагонального или декаграммного дитетраголтриата. Вершинная фигура представляет собой вариант сфенокороны .

k_22 многогранников

Дуопризма 3-3 , -1 ₂₂ , является первой в размерной серии однородных многогранников, выраженной Коксетером k ₂₂ как серия . Дуопризма 3-3 является вершиной второго, биректифицированного 5-симплекса . Четвертая фигура — это евклидовы соты 2 ₂₂ , а последняя — паракомпактные гиперболические соты 3 ₂₂ с группой Кокстера [3 ^2,2,3], ${\bar {T}}_{7}$ . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершинная фигура .

k ₂₂ фигуры в n измерениях
Космос	Конечный			евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8
Коксетер группа	А ₂ А ₂	E_Е6	${\tilde {E}}_{6}$ = Е ₆⁺	${\bar {T}}_{7}$ = Е ₆⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[[3 ^2,2,-1]]	[[3 ^2,2,0]]	[[3 ^2,2,1]]	[[3 ^2,2,2]]	[[3 ^2,2,3]]
Заказ	72	1440	103,680	∞
График				∞	∞
Имя	−1 ₂₂	0 ₂₂	1 ₂₂	2 ₂₂	3 ₂₂

См. также

Примечания

^ Простое объяснение четвертого измерения , Генри П. Мэннинг, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно в Интернете: «Четвертое измерение просто объяснено » — содержит описание дуопризм (двойных призм) и дуоцилиндров (двойных цилиндров). Гуглкнига
^ Джонатан Бауэрс - Разная униформа Полихора 965. Гудап
^ http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Архивировано 22 февраля 2014 г. на Wayback Machine. Анимация поперечных сечений.

Ссылки

Правильные многогранники , HSM Coxeter , Dover Publications, Inc., 1973, Нью-Йорк, с. 124.
Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги)
- Коксетер, HSM Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях. Учеб. Лондонская математика. Соц. 43, 33–62, 1937.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (глава 26)
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.

[1] Простое объяснение четвертого измерения , Генри П. Мэннинг, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно в Интернете: «Четвертое измерение просто объяснено » — содержит описание дуопризм (двойных призм) и дуоцилиндров (двойных цилиндров). Гуглкнига

[2] Джонатан Бауэрс - Разная униформа Полихора 965. Гудап

[3] ttp://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Архивировано 22 февраля 2014 г. на Wayback Machine. Анимация поперечных сечений.

[1]

[2]

[3]