4-многогранник

Графы шести выпуклых правильных 4-многогранников
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
5-клеточный Пентатоп 4- симплекс	16-ячеечный Ортоплекс 4- ортоплекс	8-ячеечный Тессеракт 4- куб
{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
24-ячеечный Октаплекс	600-ячеечный Тетраплекс	120-ячеечный Додекаплекс

В геометрии ( 4-многогранник иногда его еще называют полихороном , ^[1] поликлетка , или многогранник ) — четырёхмерный многогранник . ^[2]^[3] Это связная и замкнутая фигура, составленная из многомерных элементов меньшей размерности: вершин , ребер , граней ( многоугольников ) и ячеек ( многогранников ). Каждая грань принадлежит ровно двум ячейкам. Четырехмерные многогранники были открыты швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. ^[4]

Двумерным аналогом 4-многогранника является многоугольник , а трёхмерным аналогом — многогранник .

Топологически 4-многогранники тесно связаны с однородными сотами , такими как кубические соты , которые замощают 3-мерное пространство; аналогично трехмерный куб связан с бесконечной двумерной квадратной мозаикой . Выпуклые 4-многогранники можно разрезать и развернуть как сети в 3-мерном пространстве.

Определение

4-многогранник – это замкнутая четырехмерная фигура. Он состоит из вершин (угловых точек), ребер , граней и ячеек . Ячейка — это трехмерный аналог грани и, следовательно, многогранник . Каждая грань должна соединять ровно две ячейки, аналогично тому, как каждое ребро многогранника соединяет только две грани. Как и в любом многограннике, элементы 4-многогранника не могут быть разделены на два или более множества, которые также являются 4-многогранниками, т. е. он не является составным.

Геометрия

Выпуклые правильные 4-многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел . Самый известный четырехмерный многогранник — это тессеракт или гиперкуб, четырехмерный аналог куба.

Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для одного и того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, и содержит больше содержимого. ^[5] в том же радиусе. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку.

Правильные выпуклые 4-многогранники
Symmetry group	A₄	B₄		F₄	H₄
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

Визуализация

Примеры презентации 24-клеточного
Секционирование		Сеть

Прогнозы
Шлегель	2D ортогональный	3D ортогональный

4-многогранники нельзя увидеть в трехмерном пространстве из-за их дополнительного измерения. Для их визуализации используется несколько методов.

Ортогональная проекция

Ортогональные проекции можно использовать для отображения различных ориентаций симметрии 4-многогранника. Их можно нарисовать в 2D в виде графов вершин-ребер и показать в 3D с твердыми гранями в виде видимых проективных оболочек .

Перспективная проекция

Точно так же, как трехмерную форму можно спроецировать на плоский лист, четырехмерную форму можно спроецировать в трехмерное пространство или даже на плоский лист. Одной из распространенных проекций является диаграмма Шлегеля , которая использует стереографическую проекцию точек на поверхности трехмерной сферы в трех измерениях, соединенных прямыми краями, гранями и ячейками, нарисованными в трехмерном пространстве.

Секционирование

Точно так же, как срез многогранника показывает разрезанную поверхность, так и срез 4-мерного многогранника показывает разрезную «гиперповерхность» в трех измерениях. Последовательность таких разделов можно использовать для лучшего понимания общей формы. Дополнительное измерение можно приравнять ко времени, чтобы создать плавную анимацию этих поперечных сечений.

Сети

Сеть многогранника 4-многогранника состоит из многогранных ячеек , соединенных своими гранями и занимающих одно и то же трехмерное пространство, так же, как многогранные грани сети соединены своими ребрами и все занимают одну и ту же плоскость. .

Топологические характеристики

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[6]

Значение характеристики Эйлера , используемой для характеристики многогранников, не дает полезного обобщения на более высокие измерения и равно нулю для всех 4-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[6]

Аналогичным образом, понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных 4-многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[6]

Классификация

Критерии

Как и все многогранники, 4-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

4-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает сама себя и отрезок, соединяющий любые две точки 4-многогранника, содержится в 4-многограннике или его внутренней части; в противном случае оно невыпуклое . Самопересекающиеся 4-многогранники также известны как звездчатые 4-многогранники по аналогии со звездчатыми формами невыпуклых звездчатых многоугольников и многогранников Кеплера-Пуансо .
4-многогранник является правильным, если он транзитивен по своим флагам . Это означает, что все его ячейки представляют собой конгруэнтные правильные многогранники , и аналогично его вершинные фигуры конгруэнтны и принадлежат к другому виду правильных многогранников.
Выпуклый 4-многогранник является полуправильным, если он имеет группу симметрии , при которой все вершины эквивалентны ( вершинно-транзитивны ), а его ячейки являются правильными многогранниками . Клетки могут быть двух или более типов при условии, что они имеют одинаковую поверхность. Есть только 3 случая, выявленные Торольдом Госсетом в 1900 году: выпрямленный 5-клеточный , выпрямленный 600-клеточный и курносый 24-клеточный .
4-многогранник является однородным , если он имеет группу симметрии , при которой все вершины эквивалентны, а его ячейки представляют собой однородные многогранники . Грани однородного 4-многогранника должны быть правильными .
4-многогранник называется чешуйчатым , если он вершинно-транзитивен и имеет все ребра одинаковой длины. Это позволяет использовать неоднородные ячейки, такие как выпуклые тела Джонсона с правильной гранью .
Правильный 4-многогранник, который также является выпуклым, называется выпуклым правильным 4-многогранником .
4-многогранник называется призматическим, если он является декартовым произведением двух или более многогранников меньшей размерности. Призматический 4-многогранник является однородным, если его факторы однородны. Гиперкуб является призматическим (произведение двух квадратов или куба и отрезка прямой ), но рассматривается отдельно, поскольку у него есть симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов.
Мозаика соты или многогранных трехмерного пространства — это разделение трехмерного евклидова пространства на повторяющуюся сетку ячеек. Такие мозаики или мозаики бесконечны, не ограничивают «4D» объем и являются примерами бесконечных 4-многогранников. Равномерное замощение трехмерного пространства — это замощение, вершины которого конгруэнтны и связаны пространственной группой , а ячейки — однородные многогранники .

Классы

Ниже перечислены различные категории 4-многогранников, классифицированные в соответствии с приведенными выше критериями:

Равномерный 4-многогранник ( вершинно-транзитивный ):

Выпуклые однородные 4-многогранники (64 плюс два бесконечных семейства)
- 47 непризматических выпуклых однородных 4-многогранников , в том числе:
  - 6 Выпуклый правильный 4-многогранник
- Призматические однородные 4-многогранники :
  - {} × {p,q}: 18 многогранных гиперпризм (включая кубическую гиперпризму, правильный гиперкуб )
  - Призмы, построенные на антипризмах (бесконечное семейство)
  - {p} × {q}: дуопризмы (бесконечное семейство)
Невыпуклые однородные 4-многогранники (10 + неизвестно)
Большой звёздчатый 120-ячеечный — самый крупный из 10 правильных звёздных 4-многогранников, имеющий 600 вершин.
- 10 (правильных) многогранников Шлефли-Гесса
- 57 гиперпризм, построенных на невыпуклых однородных многогранниках.
- Неизвестное общее количество невыпуклых однородных 4-многогранников: Норман Джонсон и другие сотрудники выявили 2189 известных случаев (выпуклых и звездчатых, исключая бесконечные семейства), все они построены с помощью вершинных фигур с помощью программного обеспечения Stella4D . ^[7]

Другие выпуклые 4-многогранники :

Бесконечные однородные 4-многогранники евклидова 3-пространства (равномерные мозаики выпуклых однородных ячеек)

28 выпуклых однородных сот : однородные выпуклые многогранные мозаики, в том числе:
- 1 обычная мозаика, кубические соты : {4,3,4}

Бесконечные однородные 4-многогранники гиперболического 3-мерного пространства (равномерные мозаики выпуклых однородных ячеек)

76 Витоффовых выпуклых однородных сот в гиперболическом пространстве , в том числе:
- 4 регулярных мозаики компактного гиперболического трехмерного пространства : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Двойной однородный 4-многогранник ( клеточно-транзитивный ):

41 уникальный двояковыпуклый однородный 4-многогранник
17 уникальных двояковыпуклых однородных многогранных призм
бесконечное семейство двояковыпуклых однородных дуопризм (неправильных тетраэдрических ячеек)
27 уникальных выпуклых сот двойной формы, в том числе:
- Ромбические додекаэдрические соты
- Дисфеноидные тетраэдрические соты

Другие:

Периодические соты со структурой Вейра – Фелана , заполняющие пространство, с нерегулярными ячейками.

Абстрактные правильные 4-многогранники :

В эти категории входят только 4-многогранники, обладающие высокой степенью симметрии. Возможны многие другие 4-многогранники, но они не изучены так подробно, как включенные в эти категории.

См. также

Правильный 4-многогранник
3-сфера – аналог сферы в 4-мерном пространстве. Это не 4-многогранник, поскольку он не ограничен многогранными ячейками.
Дуоцилиндр с — фигура в 4-мерном пространстве, связанная дуопризмами . Он также не является 4-многогранником, поскольку его ограничивающие объемы не являются многогранниками.

Ссылки

Примечания

^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224
^ Виалар, Т. (2009). Сложная и хаотическая нелинейная динамика: достижения экономики и финансов . Спрингер. п. 674. ИСБН 978-3-540-85977-2 .
^ Капечки, В.; Контуччи, П.; Бушема, М.; Д'Амор, Б. (2010). Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве . Спрингер. п. 598. дои : 10.1007/978-90-481-8581-8 . ISBN 978-90-481-8580-1 .
^ Коксетер 1973 , с. 141, §7-х. Исторические замечания.
^ Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях: [Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.]
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.
^ Uniform Polychora , Норман В. Джонсон (Колледж Уитон), 1845 случаев в 2005 г.

Библиография

ХСМ Коксетер :
- Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер : Однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий язык), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [2]. Архивировано 22 марта 2005 г. в Wayback Machine.

Внешние ссылки

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.1 Многогранники и соты , стр.224

[2] Виалар, Т. (2009). Сложная и хаотическая нелинейная динамика: достижения экономики и финансов . Спрингер. п. 674. ИСБН 978-3-540-85977-2 .

[3] Капечки, В.; Контуччи, П.; Бушема, М.; Д'Амор, Б. (2010). Применение математики в моделях, искусственных нейронных сетях и искусстве . Спрингер. п. 598. дои : 10.1007/978-90-481-8581-8 . ISBN 978-90-481-8580-1 .

[FOOTNOTECoxeter1973141§7-x._Historical_remarks-4] Коксетер 1973 , с. 141, §7-х. Исторические замечания.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-5] Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях: [Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.]

[richeson-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.

[7] Uniform Polychora , Норман В. Джонсон (Колледж Уитон), 1845 случаев в 2005 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]