Проекционное покрытие

В разделе абстрактной математики, называемом категорий , проективное покрытие объекта X является в некотором смысле лучшим приближением X проективным объектом P. теорией Проективные покрытия являются двойниками оболочек инъективных .

Определение

Позволять ${\mathcal {C}}$ быть категорией , а X — объектом в ${\mathcal {C}}$ . Проективное накрытие — это пара ( P , p ), где P — проективный объект в ${\mathcal {C}}$ и p — лишний эпиморфизм в Hom( P , X ).

Если R — кольцо, то в категории R -модулей лишним эпиморфизмом является тогда эпиморфизм $p:P\to X$ такой, ядро p P является лишним подмодулем что .

Характеристики

Проективные накрытия и их лишние эпиморфизмы, если они существуют, единственны с точностью до изоморфизма . Однако изоморфизм не обязательно должен быть уникальным, поскольку проективное свойство не является полноценным универсальным свойством .

Основной эффект наличия у p лишнего ядра следующий: если N — любой собственный подмодуль P , то $p(N)\neq M$ . ^[1] Неформально говоря, это показывает, что лишнее ядро заставляет P оптимально покрывать M , то есть ни один подмодуль P не будет достаточным. Это не зависит от проективности P : это верно для всех лишних эпиморфизмов.

Если ( P , p ) — проективное накрытие M , а P' — еще один проективный модуль с эпиморфизмом $p':P'\rightarrow M$ , то существует расщепляемый эпиморфизм α из P' в P такой, что $p\alpha =p'$

В отличие от инъективных оболочек и плоских накрытий , которые существуют для каждого левого (правого) R -модуля независимо от кольца R , левые (правые) R -модули вообще не имеют проективных накрытий. Кольцо R называется совершенным слева (справа) , если каждый левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие в R -Mod (Mod- R ).

Кольцо называется полусовершенным , если каждый конечно порожденный левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие в R -Mod (Mod- R ). «Полусовершенный» — это свойство лево-правой симметрии.

Кольцо называется лифт/рад, идемпотенты поднимаются от R / J до R , где J — радикал Джекобсона R. кольца если Свойство быть лифтом/радом можно охарактеризовать в терминах проективных накрытий: / J как ( R является лифтом/радом тогда и только тогда, когда прямые слагаемые модуля R правого или левого модуля) имеют проективные покрытия. ^[2]

Примеры

В категории R -модулей:

Если M уже является проективным модулем, то тождественное отображение M в M является лишним эпиморфизмом (его ядро равно нулю). Следовательно, проективные модули всегда имеют проективные покрытия.
Если J( R )=0, то модуль M имеет проективное накрытие тогда и только тогда, когда M уже проективен.
когда модуль M прост В случае , , то он обязательно является вершиной своего проективного покрытия, если оно существует.
Инъективная оболочка модуля существует всегда, однако над некоторыми кольцами модули могут не иметь проективных покрытий. Например, естественное отображение Z на Z /2 Z не является проективным накрытием Z -модуля Z /2 Z (который фактически не имеет проективного покрытия). Класс колец, наделяющий все свои правые модули проективными накрытиями, есть класс совершенных справа колец .
Любой R -модуль M имеет плоское покрытие , равное проективному покрытию, если M имеет проективное покрытие.

См. также

Проективное разрешение

Ссылки

^ Доказательство: пусть N собственный в P и предположим, что p ( N ) = M . Поскольку ker( p ) является излишним, ker( p )+ N ≠ P . Выберите x в P вне ker( p )+ N . В силу сюръективности p существует x' в N такой, что p ( x' )= p ( x ), откуда x − x' находится в ker( p ). Но тогда x находится в ker( p )+ N , противоречие.
^ Андерсон и Фуллер 1992 , с. 302.

Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей . Спрингер. ISBN 0-387-97845-3 . Проверено 27 марта 2007 г.
Фейт, Карл (1976), Алгебра. II. Теория колец. , Основы математических наук, Вып. 191. Издательство Спрингер.
Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Тексты для выпускников по математике, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0

[1] Доказательство: пусть N собственный в P и предположим, что p ( N ) = M . Поскольку ker( p ) является излишним, ker( p )+ N ≠ P . Выберите x в P вне ker( p )+ N . В силу сюръективности p существует x' в N такой, что p ( x' )= p ( x ), откуда x − x' находится в ker( p ). Но тогда x находится в ker( p )+ N , противоречие.

[FOOTNOTEAndersonFuller1992p._302-2] Андерсон и Фуллер 1992 , с. 302.

[1]

[2]