Инъективная оболочка

В математике , особенно в алгебре , инъективная оболочка (или инъективная оболочка ) модуля является одновременно наименьшим инъективным модулем, содержащим его, и самым большим существенным расширением его . Инъективные оболочки были впервые описаны в ( Eckmann & Schopf 1953 ).

Определение

Модуль существенное E называется оболочкой модуля M , E — расширение M если и E инъективен . инъективной Здесь базовое кольцо представляет собой кольцо с единицей, хотя, возможно, и некоммутативное.

Примеры

Инъективный модуль — это собственная инъективная оболочка.
Инъективная оболочка области целостности (как модуля над самой собой) — это ее поле частных ( Lam 1999 , пример 3.35).
Инъективная оболочка циклической p- группы (как Z -модуля) является группой Прюфера ( Lam 1999 , пример 3.36).
Инъективная оболочка абелевой группы без кручения $A$ тензорное произведение $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A$ .
Инъективная оболочка R /rad( R ) — это Hom _k ( R , k ), где R — конечномерная k - алгебра с радикалом Джекобсона rad( R ) ( Lam 1999 , пример 3.41).
обязательно Простой модуль является цоколем своей инъективной оболочки.
Инъективная оболочка поля вычетов кольца дискретного нормирования $(R,{\mathfrak {m}},k)$ где ${\mathfrak {m}}=x\cdot R$ является $R_{x}/R$ . ^[1]
В частности, инъективная оболочка $\mathbb {C}$ в $(\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )$ это модуль $\mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]$ .

Характеристики

Инъективная оболочка M единственна с точностью до изоморфизмов, которые являются тождественными на M , однако изоморфизм не обязательно уникален. Это связано с тем, что свойство расширения карты инъективной оболочки не является полноценным универсальным свойством . Из-за этой уникальности корпус можно обозначить как E ( M ).
Инъективная оболочка E ( M ) является максимальным расширением M существенным в том смысле, что если M ⊆ E ( M ) ⊊ B для модуля B , то M существенным подмодулем B. не является
Инъективная оболочка E ( M ) — минимальный инъективный модуль, содержащий M в том смысле, что если ⊆ B для инъективного модуля B , то E ( M ) является (изоморфным) подмодулем B. M
Если N — существенный подмодуль M , то E ( N )= E ( M ).
Каждый модуль M имеет инъективную оболочку. Конструкция инъективной оболочки в терминах гомоморфизмов Hom( I , M ), где I пробегает идеалы R , дана Флейшером (1968) .
Двойственное понятие проективного накрытия не всегда существует для модуля, однако плоское накрытие существует для каждого модуля.

Кольцевая структура

В некоторых случаях, когда R является подкольцом самоинъективного кольца S , инъективная оболочка R также будет иметь кольцевую структуру. ^[2] Например, если считать S полным кольцом матриц над полем и считать R любым кольцом, содержащим каждую матрицу, которая равна нулю во всех столбцах, кроме последнего, то инъективная оболочка правого R -модуля R равна S . Например, в качестве R можно взять кольцо всех верхнетреугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, как показывает пример из ( Ософский, 1964 ).

Большой класс колец, имеющих кольцевую структуру на инъективной оболочке, — это неособые кольца . ^[3] В частности, для области целостности инъективная оболочка кольца (рассматриваемая как модуль над собой) представляет собой поле частных . Инъективные оболочки неособых колец представляют собой аналог кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие условия Оре может препятствовать формированию классического кольца частных . Этот тип «кольца частных» (как называются эти более общие «поля дробей») был впервые использован в ( Utumi 1956 ), а связь с инъективными оболочками была признана в ( Lambek 1963 ).

Унифицированные размерные и инъективные модули

M R- модуль имеет конечную равномерную размерность (= конечный ранг ) n тогда и только тогда, когда инъективная оболочка M является конечной прямой суммой n неразложимых подмодулей .

Обобщение

В более общем смысле, пусть C — абелева категория . Объект — существенное E является инъективной оболочкой объекта M, если M → E расширение и E — инъективный объект .

Если C , локально мал удовлетворяет аксиоме Гротендика AB5 и имеет достаточно инъектив , то каждый объект в C имеет инъективную оболочку (этим трем условиям удовлетворяет категория модулей над кольцом). ^[4] Каждый объект в категории Гротендика имеет инъективную оболочку.

См. также

Плоская крышка , двойная концепция инъективных корпусов.
Рациональная оболочка : Это аналог инъективной оболочки при рассмотрении максимального рационального расширения .

Примечания

^ Вальтер, Ули. «Инъективные модули» (PDF) . п. 11.
^ Лам 1999 , с. 78–80.
^ Лам 1999 , с. 366.
^ Раздел III.2 ( Митчелл, 1965 ).

Ссылки

Экманн, Б.; Шопф, А. (1953), «Об инъективных модулях», Архив математики , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007/BF01899665 , ISSN 0003-9268 , MR 0055978
Флейшер, Исидор (1968), «Новая конструкция инъективной оболочки», Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 19–21, doi : 10.4153/CMB-1968-002-3 , MR 0229680
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Ламбек, Иоахим (1963), «О кольце частных Утуми» , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , MR 0147509
Матлис, Эбен (1958), «Инъективные модули над нетеровыми кольцами», Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360
Мацумура, Х. Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том 8.
Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. Том. 17. Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4 . МР 0202787 .
Ософский, Б.Л. (1964), «О кольцевых свойствах инъективных оболочек», Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0166227
Утуми, Юзо (1956), «О частных кольцах», Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966

Внешние ссылки

инъективная оболочка (статья PlanetMath)
Страница PlanetMath о модулях конечного ранга

[1] Вальтер, Ули. «Инъективные модули» (PDF) . п. 11.

[FOOTNOTELam1999p._78–80-2] Лам 1999 , с. 78–80.

[FOOTNOTELam1999p._366-3] Лам 1999 , с. 366.

[4] Раздел III.2 ( Митчелл, 1965 ).

[1]

[2]

[3]

[4]