Плоская крышка
В алгебре плоское накрытие модуля M над кольцом — это сюръективный гомоморфизм плоского модуля F в M , который в некотором смысле минимален. Любой модуль над кольцом имеет плоское накрытие, единственное с точностью до (неединственного) изоморфизма. Плоские накрытия в некотором смысле двойственны инъективным оболочкам и родственны проективным накрытиям и накрытиям без кручения .
Определения
[ редактировать ]Гомоморфизм F → M определяется как плоское накрытие M , если он сюръективен, F плоский, каждый гомоморфизм из плоского модуля в M факторизуется через F и любое отображение из F в F, коммутирующее с отображением в M, является автоморфизмом выключенный .
История
[ редактировать ]Хотя проективные покрытия для модулей существуют не всегда, предполагалось, что для обычных колец каждый модуль будет иметь плоское покрытие. Гипотеза о плоском покрытии была впервые явно сформулирована в ( Enochs 1981 , стр. 196). Гипотеза оказалась верной, решена положительно и одновременно доказана Биканом, Эль-Баширом и Энохсом (2001) . Этому предшествовали важные вклады П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Сюй.
Минимальное плоское разрешение
[ редактировать ]Любой модуль M над кольцом имеет разрешение плоскими модулями.
- → Ж 2 → Ж 1 → Ж 0 → М → 0
что каждое Fn + 1 является плоским покрытием ядра Fn 1 → Fn − такой , . Такая резольвента уникальна с точностью до изоморфизма и является минимальной плоской резольвентой в том смысле, что любая плоская резольвента M проходит через нее. Любой гомоморфизм модулей продолжается до гомоморфизма между соответствующими плоскими резольвентами, хотя это расширение, вообще говоря, не единственно.
Ссылки
[ редактировать ]- Енохс, Эдгар Э. (1981), «Инъективные и плоские покрытия, конверты и резольвенты», Израильский математический журнал , 39 (3): 189–209, doi : 10.1007/BF02760849 , ISSN 0021-2172 , MR 0636889
- Бикан, Л.; Эль Башир, Р.; Енохс, Э. (2001), «Все модули имеют плоские крышки», Бюллетень Лондонского математического общества , 33 (4): 385–390, doi : 10.1017/S0024609301008104 , ISSN 0024-6093 , MR 1832549
- «Плоская обложка» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Сюй, Цзиньчжун (1996), Плоские крышки модулей , Конспекты лекций по математике, вып. 1634, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0094173 , ISBN 3-540-61640-3 , МР 1438789