Плотный субмодуль

В абстрактной алгебре , особенно в теории модулей , плотный подмодуль модуля является уточнением понятия существенного подмодуля . Если N — плотный подмодуль M , альтернативно можно сказать, что « N ⊆ M — рациональное расширение ». Плотные подмодули связаны с кольцами частных в некоммутативной теории колец. Большинство представленных здесь результатов были впервые получены в работах ( Джонсон, 1951 ), ( Утуми, 1956 ) и ( Финдли и Ламбек, 1958 ).

Следует отметить, что эта терминология отличается от понятия плотного подмножества в общей топологии . Для определения плотного подмодуля не требуется топология, а плотный подмодуль может быть или не быть топологически плотным в модуле с топологией.

Определение

Эта статья изменяет изложение , представленное в ( Storrer 1972 ) и ( Lam 1999 , стр. 272). Пусть R — кольцо, а M — правый R- модуль с N. подмодулем Для элемента y из M определите

y^{-1}N=\{r\in R\mid yr\in N\}\,

Обратите внимание, что выражение y ⁻¹ поскольку бессмысленно говорить об обратимости модуля-элемента , y является лишь формальным , но такое обозначение помогает предположить, что y ⋅( y ⁻¹Н ) ⊆ Н . Набор y ⁻¹N правым идеалом R . всегда является

Подмодуль N модуля M называется плотным подмодулем, если для всех x и y в M, где x ≠ 0, существует r в R такой, что xr ≠ {0} и yr находится в N . Другими словами, используя введенные обозначения, множество

x(y^{-1}N)\neq \{0\}\,

В этом случае связь обозначается

N\subseteq _{d}M\,

Другое эквивалентное определение имеет гомологический характер: N плотно в M тогда и только тогда, когда

\mathrm {Hom} _{R}(M/N,E(M))=\{0\}\,

где E ( M ) инъективная M. оболочка —

Характеристики

Можно показать, что N является существенным подмодулем M тогда и только тогда, когда для всех y ≠ 0 в M множество y ⋅( y ⁻¹Н ) ≠ {0}. Ясно, что всякий плотный подмодуль является существенным подмодулем.
Если M — неособый модуль , то N плотно в M когда он существенен в M. тогда и только тогда ,
Кольцо является несингулярным справа кольцом тогда и только тогда, когда все его существенные правые идеалы являются плотными правыми идеалами.
Если N и N' — плотные подмодули модуля M , то плотным является и N ∩ N' .
Если N плотно и N ⊆ K ⊆ M , то K также плотно.
Если B — плотный правый идеал в R , то и y тоже ⁻¹B для любого y в R .

Примеры

Если x — ненолевой делитель в , то центре R xR — плотный правый R. идеал
Если I — двусторонний идеал R , я плотен как правый идеал тогда и только тогда, когда левый аннулятор I равен нулю, то есть $\ell \cdot \mathrm {Ann} (I)=\{0\}\,$ . В частности, в коммутативных кольцах плотные идеалы — это именно те идеалы, которые являются точными модулями .

Приложения

Рациональный корпус модуля

Каждый правый R- модуль M имеет максимальное существенное расширение E ( M ), которое является его инъективной оболочкой . Аналогичная конструкция с использованием максимального плотного расширения приводит к рациональной оболочке Ẽ ( M ), которая является подмодулем E ( M ). Когда модуль не имеет собственного рационального расширения, так что Ẽ ( M ) = M , модуль называется рационально полным . Если R несингулярен справа, то, конечно, Ẽ ( M ) = E ( M ).

Рациональная оболочка легко идентифицируется внутри инъективной оболочки. Пусть S =End _R ( E ( M )) — кольцо эндоморфизмов инъективной оболочки. Тогда элемент x инъективной оболочки находится в рациональной оболочке тогда и только тогда, когда x обращается в ноль всеми отображениями в S, которые равны нулю на M . В символах,

{\tilde {E}}(M)=\{x\in E(M)\mid \forall f\in S,f(M)=0\implies f(x)=0\}\,

могут существовать карты В общем, в S , которые равны нулю на M и, тем не менее, ненулевые для некоторого x, не входящего в M , и такой x не будет находиться в рациональной оболочке.

Максимальное правое кольцо частных

Максимальное правое кольцо частных можно описать двумя способами в связи с плотными правыми идеалами R .

В одном методе показано, что Ẽ ( R ) является модулем, изоморфным определенному кольцу эндоморфизмов, и кольцевая структура берется через этот изоморфизм, чтобы наполнить Ẽ ( R ) кольцевой структурой, то есть структурой максимального правого кольца частных. ( Лам 1999 , стр. 366)
Во втором методе максимальное правое кольцо частных отождествляется с множеством классов эквивалентности гомоморфизмов плотных правых идеалов из R в R . Отношение эквивалентности говорит, что две функции эквивалентны, если они совпадают в плотном правом идеале R . ( Лам 1999 , стр. 370)

Ссылки

Финдли, Джорджия; Ламбек, Дж. (1958), «Обобщенное кольцо частных. I, II», Canadian Mathematical Bulletin , 1 (2): 77–85, 155–167, doi : 10.4153/CMB-1958-009-3 , ISSN 0008-4395 , МР 0094370
Джонсон, Р.Э. (1951), «Расширенный централизатор кольца над модулем», Труды Американского математического общества , 2 (6): 891–895, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045695-9 , ISSN 0002-9939 , МР 0045695
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN. 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Сторрер, Ханс Х. (1972), «О первичном разложении Гольдмана», Лекции по кольцам и модулям (Тулейнский университет. Теория колец и операторов) , Конспекты лекций по математике, I (1970–1971), Берлин: Springer: 617–661 , номер домена : 10.1007/bfb0059571 , ISBN 978-3-540-05760-4 , МР 0360717
Утуми, Юзо (1956), «О частных кольцах», Osaka Mathematical Journal , 8 : 1–18, doi : 10.18910/8001 , MR 0078966