Пропризма

Дуопризма {3}×{3} — это пропризма, представляющая собой произведение двух ортогональных треугольников, имеющая 9 квадратов между парами ребер 2 наборов по 3 треугольника и 18 вершин, как видно на этой косой ортогональной проекции.

В геометрии четырех измерений и выше пропризма — это многогранник, полученный в результате декартова произведения двух или более многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Этот термин был придуман Джоном Хортоном Конвеем для обозначения призмы продукта . Размерность пространства пропризмы равна сумме размеров всех ее элементов-продуктов. Пропризмы часто рассматриваются как k -гранные элементы однородных многогранников .

Характеристики

Число вершин в пропризме равно произведению числа вершин во всех многогранниках в произведении.

Минимальный порядок симметрии пропризмы является произведением порядков симметрии всех многогранников. Более высокий порядок симметрии возможен, если многогранники в произведении идентичны.

Пропризма называется выпуклой, если все ее произведения-многогранники выпуклы.

f-векторы

— f-вектор это количество k -гранных элементов в многограннике от k =0 (точек) до k = n -1 (граней). Расширенный f-вектор также может включать k = -1 (нульлитоп) или k = n (тело). Изделия Prism включают в себя корпусной элемент. (Произведения, двойственные призме, включают нуллитоп, а произведения пирамиды включают оба.)

f-вектор произведения призмы, A×B, можно вычислить как (f _A , 1 )*(f _B , 1 ), как и умножения полиномиальные коэффициенты .

Например, произведение треугольника f=(3,3) и диона f=(2) образует треугольную призму с 6 вершинами, 9 ребрами и 5 гранями:

f _A (x) = (3,3, 1 ) = 3 + 3x + x ² (треугольник)

f _B (x) = (2, 1 ) = 2 + x (дион)

f _A∨B (x) = f _A (x) * f _B (x)

= (3 + 3х + х ² ) * (2 + х)

= 6 + 9х + 5х ² + х ³

= (6,9,5, 1 )

f-векторы гиперкуба можно вычислить как декартово произведение n дионов, { } ^н . Каждый { } имеет f=(2), расширенный до f=(2, 1 ).

Например, 8-куб будет иметь расширенное произведение степени f-вектора: f=(2, 1 ) ⁸ = (4,4, 1 ) ⁴ = (16,32,24,8, 1 ) ² = (256,1024,1792,1792,1120,448,112,16,1 ) . Если длины равны, это удвоение представляет собой { } ⁸ , квадратная тетрапризма {4} ⁴ , тессерактовая дуо-призма {4,3,3} ² , и обычный 8-куб {4,3,3,3,3,3,3}.

Двойные произведения или дуопризмы

Дополнительная информация: Дуопризма.

В геометрии четырех измерений или выше дуопризма представляет собой многогранник, полученный в результате декартова произведения двух многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Декартово произведение a- многогранника на a b -многогранник представляет собой (a+b) -многогранник, где a и b — 2-многогранники ( многоугольник ) или выше.

Чаще всего это относится к произведению двух многоугольников в 4-х измерениях. В контексте произведения многоугольников работа Генри П. Мэннинга 1910 года, объясняющая четвертое измерение, назвала эти двойные призмы .

Декартово произведение двух многоугольников — это набор точек:

$P_{1}\times P_{2}=\{(x,y,u,v)|(x,y)\in P_{1},(u,v)\in P_{2}\}$

где P ₁ и P ₂ - множества точек, содержащихся в соответствующих многоугольниках.

Самая маленькая — дуопризма 3-3 , составленная из двух треугольников. Если треугольники правильные, его можно записать как произведение символов Шлефли , {3} × {3}, и оно состоит из 9 вершин.

Тессеракт , можно построить как дуопризму {4} × {4}, произведение двух ортогональных квадратов одинакового размера состоящих из 16 вершин. 5 -куб можно построить как дуопризму {4} × {4,3}, произведение квадрата и куба, а 6-куб можно построить как произведение двух кубов, {4,3} × { 4,3}.

Тройные продукты

Призму {3} × {3} × {3} можно увидеть в ортогональной проекции внутри правильного восьмиугольника.

В геометрии шести измерений или выше тройное произведение представляет собой многогранник, полученный в результате декартова произведения трех многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Декартово произведение a -многогранника, b -многогранника и c -многогранника представляет собой ( a + b + c )-многогранник, где a , b и c — 2-многогранники ( polygon ) или выше.

Формы наименьшей размерности — это 6-многогранники, являющиеся декартовым произведением трёх многоугольников . Наименьший можно записать как {3} × {3} × {3} в символах Шлефли , если они регулярны и содержат 27 вершин. Это произведение трех равносторонних треугольников и является однородным многогранником . f-векторы можно вычислить по (3,3, 1 ) ³ = (27,81,108,81,36,9, 1 ).

можно 6-куб построить как тройное произведение {4} × {4} × {4}. f-векторы можно вычислить по формуле ( 4,4,1 ) ³ = (64,192,240,160,60,12, 1 ).