6-многогранник
 6-симплекс |  6-ортоплекс , 3 11 |  6-куб (Гексеракт) |  2 21 |
 Расширенный 6-симплекс |  Выпрямленный 6-ортоплекс |  6-демикуб 1 31 (Демигексеракт) |  1 22 |
В шестимерной геометрии или шестимерный многогранник 6 -многогранник — это многогранник , ограниченный 5-мерными гранями .
Определение
[ редактировать ]6-мерный многогранник — это замкнутая шестимерная фигура с вершинами , ребрами , гранями , ячейками (3-гранями), 4-гранями и 5-гранями. Вершина — это точка , в которой сходятся шесть или более ребер. Ребро — это сегмент линии , на котором встречаются четыре или более грани, а грань — это многоугольник , на котором встречаются три или более ячеек. Ячейка представляет собой многогранник . 4-гранный — это многогранник , а 5-гранный — 5-мерный многогранник . Кроме того, должны быть соблюдены следующие требования:
- Каждая 4-грань должна соединять ровно две 5-грань (фасеты).
- Соседние грани не находятся в одной пятимерной гиперплоскости .
- Фигура не является соединением других фигур, соответствующих требованиям.
Характеристики
[ редактировать ]Топология любого данного 6-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [1]
Значение характеристики Эйлера , используемой для характеристики многогранников, не дает полезного обобщения на более высокие измерения и равно нулю для всех 6-многогранников, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. [1]
Аналогичным образом, понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. [1]
Классификация
[ редактировать ]6-многогранники можно классифицировать по таким свойствам, как « выпуклость » и « симметрия ».
- 6-многогранник называется выпуклым, если его граница (включая его 5-грани, 4-грани, ячейки, грани и ребра) не пересекает себя и отрезок, соединяющий любые две точки 6-многогранника, содержится в 6-многограннике. или его интерьер; в противном случае оно невыпуклое . Самопересекающиеся 6-многогранники также известны как звездчатые 6-многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых многогранников Кеплера-Пуансо .
- Правильный 6-многогранник имеет все одинаковые грани правильного 5-многогранника. Все правильные 6-многогранники выпуклы.
- Полуправильный 6 -многогранник содержит два или более типов правильных 4-многогранников . Существует только одна такая цифра, называемая 2 21 .
- Однородный 6-многогранник имеет группу симметрии , при которой все вершины эквивалентны, а его грани являются однородными 5-многогранниками . Грани однородного многогранника должны быть правильными .
- Призматический 6-многогранник строится как декартово произведение двух многогранников меньшей размерности. Призматический 6-многогранник является однородным, если его факторы однородны. призматический 6-куб (произведение квадратов и куба ), но рассматривается отдельно, поскольку имеет симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его множителей.
- Тесселяция 5-мерного пространства — это разделение пятимерного евклидова пространства на регулярную сетку из 5-мерных граней. Строго говоря, тесселяции не являются 6-многогранниками, поскольку они не ограничивают объем «6D», но мы включили их сюда для полноты картины, поскольку они во многом похожи на 6-многогранники. Равномерная 5-пространственная мозаика — это мозаика, вершины которой связаны пространственной группой , а грани — равномерные 5-многогранники .
Правильные 6-многогранники
[ редактировать ]Правильные 6-многогранники могут быть сгенерированы из групп Кокстера , представленных символом Шлефли {p,q,r,s,t} с t {p,q,r,s} гранями 5-многогранника вокруг каждой ячейки .
всего три Таких выпуклых правильных 6-многогранников :
- {3,3,3,3,3} - 6-симплекс
- {4,3,3,3,3} - 6-куб
- {3,3,3,3,4} - 6-ортоплекс
Невыпуклых правильных многогранников пяти и более измерений не существует.
Для трех выпуклых правильных 6-многогранников их элементами являются:
| Имя | Шлефли символ | Коксетер диаграмма | Вершины | Края | Лица | Клетки | 4-ликий | 5-гранный | Симметрия ( порядок ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-симплекс | {3,3,3,3,3} |    | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | А 6 (720) |
| 6-ортоплекс | {3,3,3,3,4} |  | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | Б 6 (46080) |
| 6-куб. | {4,3,3,3,3} | | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | Б 6 (46080) |
Однородные 6-многогранники
[ редактировать ]Вот шесть простых однородных выпуклых 6-многогранников, включая повторенный 6-ортоплекс с его альтернативной конструкцией.
| Имя | Шлефли символ(ы) | Коксетер диаграмма(ы) | Вершины | Края | Лица | Клетки | 4-ликий | 5-гранный | Симметрия ( порядок ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Расширенный 6-симплекс | т 0,5 {3,3,3,3,3} | | 42 | 210 | 490 | 630 | 434 | 126 | 2×A 6 (1440) |
| 6-ортоплекс , 3 11 (альтернативная конструкция) | {3,3,3,3 1,1 } |   | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | Д 6 (23040) |
| 6-демикуб | {3,3 3,1 } ч{4,3,3,3,3} |   | 32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | Д 6 (23040) ½B 6 |
| Выпрямленный 6-ортоплекс | т 1 {3,3,3,3,4} т 1 {3,3,3,3 1,1 } | | 60 | 480 | 1120 | 1200 | 576 | 76 | Б 6 (46080) 2×D 6 |
| 2 21 многогранник | {3,3,3 2,1 } |     | 27 | 216 | 720 | 1080 | 648 | 99 | Е6 ) (51840 |
| 1 22 многогранника | {3,3 2,2 } |  или   | 72 | 720 | 2160 | 2160 | 702 | 54 | 2×E 6 (103680) |
Расширенный 6-симплекс — это вершинная фигура однородной 6-симплексной соты , . соты Шестикубовые , , вершинная фигура представляет собой выпрямленный 6-ортоплекс , а грани — 6-ортоплекс и 6-демикуб . Униформа 2 22 соты , , имеет 1 22 многогранника — вершину фигуры и 2 21 грань.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.
- Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
- А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
- ХСМ Коксетер :
- HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер: однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена , Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Имена многогранников
- Многогранники различных размерностей , Джонатан Бауэрс
- Многомерный глоссарий
- Глоссарий по гиперпространству , Георгий Ольшевский.