Jump to content

1 22 многогранник

(Перенаправлено из многогранника Госсета 1 22 )

1 22

Исправлено 1 22

Биректифицированный 1 22

2 21

Исправлено 2 21
ортогональные проекции в E 6 плоскости Кокстера

В 6-мерной геометрии многогранник 1 22 — это однородный многогранник , построенный из группы E 6 . Впервые он был опубликован в списке полуправильных многогранников Э. Л. Эльте в 1912 году, названном V 72 (из-за 72 вершин). [1]

Его символ Кокстера 1 22 , описывающий его разветвляющуюся диаграмму Кокстера-Динкина с одним кольцом на конце последовательности из 1 узла. Имеются два ректификации числа 1 22 , построенные по положениям точек на элементах числа 1 22 . Выпрямленный 1 22 строится по точкам на средних краях 1 22 . Биректифицированное 1 22 строится точками в центрах треугольных граней 1 22 .

Эти многогранники входят в семейство из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерном измерении , состоящих из однородных фасет многогранников и фигур вершин , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина : .

1 22 многогранник

[ редактировать ]
1 22 многогранник
Тип Равномерный 6-многогранник
Семья 1 k2 многогранник
Символ Шлефли {3,3 2,2 }
Символ Коксетера 1 22
Диаграмма Кокстера-Динкина или
5-гранный 54:
27 1 21
27 1 21
4-ликий 702:
270 1 11
432 1 20
Клетки 2160:
1080 1 10
1080 {3,3}
Лица 2160 {3}
Края 720
Вершины 72
Вершинная фигура Биректифицированный 5-симплекс :
0 22
Полигон Петри Додекагон
Группа Коксетера Е 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики выпуклый , изотопный

Многогранник 1 22 содержит 72 вершины и 54 5-демикубических грани. Он имеет биректифицированную 5-симплексную вершинную фигуру . Его 72 вершины представляют собой корневые векторы простой группы Ли E 6 .

Альтернативные названия

[ редактировать ]
  • Пентаконтатетра-петон (Акроним Мо) — 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс) [2]

Изображения

[ редактировать ]
плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6
[12]
Д5
[8]
Д4/А2
[6]

(1,2)

(1,3)

(1,9,12)
Б6
[12/2]
А5
[6]
A4
[[5]] = [10]
А3/Д3
[4]

(1,2)

(2,3,6)

(1,2)

(1,6,8,12)

Строительство

[ редактировать ]

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 6 гиперплоских зеркал в 6-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина . .

Удаление узла на любой из ветвей длиной 2 оставляет 5-полукуб , 1 31 , .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает биректифицированный 5-симплекс , 0 22 , .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркал и соотношений групповых порядков Кокстера . [3]

EЕ6 k-лицо ж к ж 0 ж 1 ff2 f 3 ж 4 ж 5 к -фигура примечания
AА5 ( ) ж 0 72 20 90 60 60 15 15 30 6 6 г {3,3,3} Е 6 5 = 72*6!/6! = 72
А 2 А 2 А 1 { } ж 1 2 720 9 9 9 3 3 9 3 3 {3}×{3} Е 6 2 А 2 А 1 = 72*6!/3!/3!/2 = 720
А 2 А 1 А 1 {3} ff2 3 3 2160 2 2 1 1 4 2 2 с{2,4} Е 6 2 А 1 А 1 = 72*6!/3!/2/2 = 2160
А 3 А 1 {3,3} f 3 4 6 4 1080 * 1 0 2 2 1 { }∨( ) Е 6 3 А 1 = 72*6!/4!/2 = 1080
4 6 4 * 1080 0 1 2 1 2
А 4 А 1 {3,3,3} ж 4 5 10 10 5 0 216 * * 2 0 { } Е 6 4 А 1 = 72*6!/5!/2 = 216
5 10 10 0 5 * 216 * 0 2
Д 4 ч{4,3,3} 8 24 32 8 8 * * 270 1 1 Е 6 4 = 72*6!/8/4! = 270
Д 5 ч{4,3,3,3} ж 5 16 80 160 80 40 16 0 10 27 * ( ) Е 6 5 = 72*6!/16/5! = 27
16 80 160 40 80 0 16 10 * 27
[ редактировать ]
Ортографическая проекция на плоскость Кокстера Aut(E6) с 18-угольной симметрией для комплексного многогранника, 3 {3} 3 {4} 2 . Он имеет 72 вершины, 216 3-рёбер и 54 3{3}3 грани.

Правильный комплексный многогранник 3 {3} 3 {4} 2 , , в имеет вещественное представление в виде многогранника 1 22 в 4-мерном пространстве. Он имеет 72 вершины, 216 3-рёбер и 54 3{3}3 грани. Его комплексная группа отражений равна 3 [3] 3 [4] 2 порядка 1296. Она имеет полусимметрию квазирегулярной конструкции как , как выпрямление гессенского многогранника , . [4]

[ редактировать ]

Наряду с полуправильным многогранником 2 21 он также является одним из семейства из 39 выпуклых однородных многогранников в 6-мерных измерениях, состоящих из однородных граней многогранника и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина : .

1 k2 фигур в n измерениях
SpaceFiniteEuclideanHyperbolic
n345678910
Coxeter
group
E3=A2A1E4=A4E5=D5E6E7E8E9 = = E8+E10 = = E8++
Coxeter
diagram
Symmetry
(order)
[3−1,2,1][30,2,1][31,2,1][[32,2,1]][33,2,1][34,2,1][35,2,1][36,2,1]
Order121201,920103,6802,903,040696,729,600
Graph--
Name1−1,2102112122132142152162

Геометрическое складывание

[ редактировать ]

Число 122 6 измерениях, F4 — связано с 24-ячейкой геометрической складкой E6 → F4 диаграмм Кокстера-Динкина , E6 соответствует 122 в с 24 ячейками в 4 измерениях. Это можно увидеть в проекциях плоскости Кокстера . 24 вершины 24-клетки проецируются в те же два кольца, что и в 1 22 .

Самолеты E6/F4 Коксетера

1 22

24-ячеечный
Самолеты D4/B4 Коксетера

1 22

24-ячеечный

Этот многогранник является вершинной фигурой для равномерной мозаики 6-мерного пространства, 2 22 , .

1 22 Выпрямленный многогранник

[ редактировать ]
Исправлено 1 22
Тип Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли 2р{3,3,3 2,1 }
г{3,3 2,2 }
Символ Коксетера 0 221
Диаграмма Кокстера-Динкина
или
5-гранный 126
4-ликий 1566
Клетки 6480
Лица 6480
Края 6480
Вершины 720
Вершинная фигура Призма 3-3 дуопризмы
Полигон Петри Додекагон
Группа Коксетера Е 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики выпуклый

Выпрямленный многогранник 1 22 (также называемый 0 221 ) может замощить 6-мерное пространство как ячейку Вороного сотовой решетки E6 * (двойственной решетке E6). [5]

Альтернативные названия

[ редактировать ]
  • Биректифицированный 2 21 многогранник
  • Rectified pentacontatetrapeton (аббревиатура Ram ) — выпрямленный 54-гранный полипетон (Джонатан Бауэрс) [6]

Изображения

[ редактировать ]

Вершины окрашены в соответствии с их кратностью в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6
[12]
Д5
[8]
Д4/А2
[6]
Б6
[12/2]
А5
[6]
A4
[5]
А3/Д3
[4]

Строительство

[ редактировать ]

Его конструкция основана на группе E 6 , а информацию можно извлечь из кольцевой диаграммы Кокстера-Динкина, представляющей этот многогранник: .

Удаление кольца на короткой ветви оставляет биректифицированный 5-симплекс , .

Удаление кольца на любой из ветвей длины 2 оставляет биректифицированный 5-ортоплекс в его чередующейся форме: t 2 (2 11 ) , .

Фигура вершины определяется удалением окольцованного узла и окольцовыванием соседнего кольца. Получается 3-3 призмы дуопризмы , {3}×{3}×{}, .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркал и соотношений групповых порядков Кокстера . [7] [8]

EЕ6 k-лицо ж к ж 0 ж 1 ff2 f 3 ж 4 ж 5 к -фигура примечания
А 2 А 2 А 1 ( ) ж 0 720 18 18 18 9 6 18 9 6 9 6 3 6 9 3 2 3 3 {3}×{3}×{ } Е 6 2 А 2 А 1 = 72*6!/3!/3!/2 = 720
А 1 А 1 А 1 { } ж 1 2 6480 2 2 1 1 4 2 1 2 2 1 2 4 1 1 2 2 { }∨{ }∨( ) Е 6 1 А 1 А 1 = 72*6!/2/2/2 = 6480
А 2 А 1 {3} ff2 3 3 4320 * * 1 2 1 0 0 2 1 1 2 0 1 2 1 клиновидная Е 6 2 А 1 = 72*6!/3!/2 = 4320
3 3 * 4320 * 0 2 0 1 1 1 0 2 2 1 1 1 2
А 2 А 1 А 1 3 3 * * 2160 0 0 2 0 2 0 1 0 4 1 0 2 2 { }∨{ } Е 6 2 А 1 А 1 = 72*6!/3!/2/2 = 2160
А 2 А 1 {3,3} f 3 4 6 4 0 0 1080 * * * * 2 1 0 0 0 1 2 0 { }∨( ) Е 6 2 А 1 = 72*6!/3!/2 = 1080
AА3 г{3,3} 6 12 4 4 0 * 2160 * * * 1 0 1 1 0 1 1 1 {3} Е 6 3 = 72*6!/4! = 2160
А 3 А 1 6 12 4 0 4 * * 1080 * * 0 1 0 2 0 0 2 1 { }∨( ) Е 6 3 А 1 = 72*6!/4!/2 = 1080
{3,3} 4 6 0 4 0 * * * 1080 * 0 0 2 0 1 1 0 2
г{3,3} 6 12 0 4 4 * * * * 1080 0 0 0 2 1 0 1 2
A 4 г {3,3,3} ж 4 10 30 20 10 0 5 5 0 0 0 432 * * * * 1 1 0 { } Е 6 4 = 72*6!/5! = 432
А 4 А 1 10 30 20 0 10 5 0 5 0 0 * 216 * * * 0 2 0 Е 6 4 А 1 = 72*6!/5!/2 = 216
A 4 10 30 10 20 0 0 5 0 5 0 * * 432 * * 1 0 1 Е 6 4 = 72*6!/5! = 432
Д 4 {3,4,3} 24 96 32 32 32 0 8 8 0 8 * * * 270 * 0 1 1 Е 6 4 = 72*6!/8/4! = 270
А 4 А 1 г {3,3,3} 10 30 0 20 10 0 0 0 5 5 * * * * 216 0 0 2 Е 6 4 А 1 = 72*6!/5!/2 = 216
AА5 2р{3,3,3,3} ж 5 20 90 60 60 0 15 30 0 15 0 6 0 6 0 0 72 * * ( ) Е 6 5 = 72*6!/6! = 72
Д 5 2р{4,3,3,3} 80 480 320 160 160 80 80 80 0 40 16 16 0 10 0 * 27 * Е 6 5 = 72*6!/16/5! = 27
80 480 160 320 160 0 80 40 80 80 0 0 16 10 16 * * 27

Усеченный 1 22 многогранник

[ редактировать ]
Усечено 1 22
Тип Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли т{3,3 2,2 }
Символ Коксетера т(1 22 )
Диаграмма Кокстера-Динкина
или
5-гранный 72+27+27
4-ликий 32+216+432+270+216
Клетки 1080+2160+1080+1080+1080
Лица 4320+4320+2160
Края 6480+720
Вершины 1440
Вершинная фигура ( )v{3}x{3}
Полигон Петри Додекагон
Группа Коксетера Е 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики выпуклый

Альтернативные названия

[ редактировать ]
  • Усеченный 1 22 многогранник

Строительство

[ редактировать ]

Его конструкция основана на группе E 6 , а информацию можно извлечь из кольцевой диаграммы Кокстера-Динкина, представляющей этот многогранник: .

Изображения

[ редактировать ]

Вершины окрашены в соответствии с их кратностью в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6
[12]
Д5
[8]
Д4/А2
[6]
Б6
[12/2]
А5
[6]
A4
[5]
А3/Д3
[4]

Биректифицированный 1 22 многогранник

[ редактировать ]
Биректифицированный 1 22 многогранник
Тип Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли 2р{3,3 2,2 }
Символ Коксетера 2р(1 22 )
Диаграмма Кокстера-Динкина
или
5-гранный 126
4-ликий 2286
Клетки 10800
Лица 19440
Края 12960
Вершины 2160
Вершинная фигура
Группа Коксетера Е 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики выпуклый

Альтернативные названия

[ редактировать ]
  • Двукантеллированный 2 21
  • Биректифицированный пентаконтитетрапетон (барм) (Джонатан Бауэрс) [9]

Изображения

[ редактировать ]

Вершины окрашены в соответствии с их кратностью в этой проекции в прогрессивном порядке: красный, оранжевый, желтый.

плоскости Кокстера Орфографические проекции
Е6
[12]
Д5
[8]
Д4/А2
[6]
Б6
[12/2]
А5
[6]
A4
[5]
А3/Д3
[4]

1 22 Триректифицированный многогранник

[ редактировать ]
1 22 Триректифицированный многогранник
Тип Равномерный 6-многогранник
Символ Шлефли 3р{3,3 2,2 }
Символ Коксетера 3р(1 22 )
Диаграмма Кокстера-Динкина
или
5-гранный 558
4-ликий 4608
Клетки 8640
Лица 6480
Края 2160
Вершины 270
Вершинная фигура
Группа Коксетера Е 6 , [[3,3 2,2 ]], заказ 103680
Характеристики выпуклый

Альтернативные названия

[ редактировать ]
  • Треугольный 2 21
  • Триректифицированный пентаконтитетрапетон (трим или какам) (Джонатан Бауэрс) [10]


См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Эльте, 1912 г.
  2. ^ Клитцинг, (o3o3o3o3o *c3x - mo )
  3. ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11.8 Фигуры Госсета в шести, семи и восьми измерениях, с. 202-203
  4. ^ Коксетер, HSM, Правильные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991). стр.30 и стр.47
  5. ^ Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.
  6. ^ Клитцинг, (o3o3x3o3o *c3o - баран )
  7. ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11.8 Фигуры Госсета в шести, семи и восьми измерениях, с. 202-203
  8. ^ Клитцинг, Ричард. «6D выпуклый равномерный полипет o3o3x3o3o *c3o - баран» .
  9. ^ Клитцинг, (o3x3o3x3o *c3o - грудь )
  10. ^ Клитцинг, (x3o3o3o3x *c3o - cacam
  • Эльте, EL (1912), Полуправильные многогранники гиперпространств , Гронинген: Гронингенский университет.
  • HSM Coxeter , Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45] См. стр. 334 (рисунок 3.6a) Питера МакМаллена: (12-угольный граф узлов и ребер из 1 22 )
  • Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . o3o3o3o3o *c3x - мо, o3o3x3o3o *c3o - баран, o3x3o3x3o *c3o - барм
Семья н Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-демикуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-демикуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб 8-демикуб 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - демикуб 1 лиц 2 2 лиц 1 лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ff2a63c1d992778e1a3f32cc0e4c974a__1680573960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ff/4a/ff2a63c1d992778e1a3f32cc0e4c974a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
1 22 polytope - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)