Ректифицированный 5-клеточный

Ректифицированный 5-клеточный
Диаграмма Шлегеля с показанными 5 тетраэдрическими ячейками.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	t ₁ {3,3,3} или r{3,3,3} {3 ^2,1} = $\left\{{\begin{array}{l}3\\3,3\end{array}}\right\}$
Диаграмма Кокстера-Динкина
Клетки	10	5 {3,3} 5 3.3.3.3
Лица	30 {3}
Края	30
Вершины	10
Вершинная фигура	Треугольная призма
Группа симметрии	A ₄ , [3,3,3], порядок 120
Полигон Петри	Пентагон
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный
Единый индекс	1 2 3

В четырехмерной геометрии выпрямленный состоящий из 5 5-ячеечный представляет собой однородный 4-многогранник, правильных тетраэдрических и 5 правильных октаэдрических ячеек . Каждое ребро имеет один тетраэдр и два октаэдра. В каждой вершине есть два тетраэдра и три октаэдра. Всего у него 30 граней треугольника, 30 ребер и 10 вершин. Каждая вершина окружена 3 октаэдрами и 2 тетраэдрами; вершинная фигура представляет собой треугольную призму .

Топологически при его высшей симметрии [3,3,3] существует только одна геометрическая форма, содержащая 5 правильных тетраэдров и 5 выпрямленных тетраэдров (что геометрически совпадает с правильным октаэдром). Он также топологически идентичен сегментохорону тетраэдра-октаэдра. ^{[ нужны разъяснения ]}

Вершинная фигура выпрямленной 5-клетки представляет собой однородную треугольную призму , образованную тремя октаэдрами по бокам и двумя тетраэдрами на противоположных концах. ^[1]

Несмотря на то же количество вершин, что и ячейки (10), и то же количество ребер, что и грани (30), выпрямленная 5-ячейка не является самодвойственной, поскольку вершинная фигура (однородная треугольная призма) не является двойственной фигуре. клетки полихорона.

Строительство Витхоффа

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. ^[2]

A ₄	к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2		f ₃		к -фигура	Примечания
А ₂ А ₁	( )	ж ₀	10	6	3	6	3	2	{3}х{ }	A ₄/A ₂A ₁ = 5!/3!/2 = 10
А ₁ А ₁	{ }	ж ₁	2	30	1	2	2	1	{ }v( )	А ₄ /А ₁ А ₁ = 5!/2/2 = 30
А ₂ А ₁	{3}	f_f2	3	3	10	*	2	0	{ }	A ₄/A ₂A ₁ = 5!/3!/2 = 10
A_А2	{3}	f_f2	3	3	*	20	1	1	{ }	А ₄ /А ₂ = 5!/3! = 20
A_А3	г{3,3}	f ₃	6	12	4	4	5	*	( )	А ₄ /А ₃ = 5!/4! = 5
A_А3	{3,3}	f ₃	4	6	0	4	*	5	( )	А ₄ /А ₃ = 5!/4! = 5

Структура

Вместе с симплексом и 24-клеточным , эта форма и ее двойник (многогранник с десятью вершинами и десятью треугольными гранями бипирамиды) были одними из первых известных 2-простых 2-симплициальных 4-многогранников. Это означает, что все его двумерные грани и все двумерные грани его двойника являются треугольниками. В 1997 году Том Брейден нашел еще одну двойную пару примеров, склеив вместе две выпрямленные 5-ячеечные клетки; с тех пор было построено бесконечное количество 2-простых 2-симплициальных многогранников. ^[3]^[4]

Полуправильный многогранник

Это один из трех полуправильных 4-многогранников, состоящих из двух или более ячеек, которые являются платоновыми телами , обнаруженных Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал его тетраоктаэдром , поскольку он состоит из тетраэдра и октаэдра . ячеек ^[5]

Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 году как полуправильный многогранник, назвав его tC ₅ .

Альтернативные названия

Тетрооктаэдрический (Торольд Госсет)
Диспентахорон
Ректифицированный 5-клеточный ( Норман В. Джонсон )
Выпрямленный 4-симплекс
Полностью усеченный 4-симплекс
Ректифицированный пентахорон (аббревиатура: рэп) (Джонатан Бауэрс)
Амбопентахорон (Нил Слоан и Джон Хортон Конвей )
(5,2)- гиперсимплекс (выпуклая оболочка пятимерных (0,1)-векторов ровно с двумя единицами)

Изображения

орфографические проекции
К Самолет Коксетера	A ₄	A_А3	A_А2
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

стереографическая проекция (в центре октаэдра )	Сеть (многогранник)
	Перспективная проекция, центрированная на тетраэдре, в трехмерное пространство, при этом ближайший к четырехмерной точке обзора тетраэдр отображается красным, а четыре окружающих октаэдра - зеленым. Ячейки, лежащие на дальней стороне многогранника, для ясности исключены (хотя их можно различить по контурам ребер). Вращение происходит только для трехмерного проекционного изображения, чтобы показать его структуру, а не вращение в четырехмерном пространстве.

Координаты

Декартовы координаты вершин выпрямленной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:

Координаты
$\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$	$\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)$

Проще говоря, вершины выпрямленной 5-ячейки можно расположить на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки (0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1). Эту конструкцию можно рассматривать как положительные ортантные грани выпрямленного пентакросса или биректифицированного пентеракта соответственно.

Связанные 4-многогранники

Выпрямленная 5-ячейка — это вершинная фигура 5 -демикуба и реберная фигура однородного 2 ₂₁ многогранника .

Соединение выпрямленной 5-клетки и ее двойственной

Выпуклая оболочка выпрямленной 5-клетки и ее двойника (того же большого радиуса) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 30 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (в виде треугольных антипризм) и 20 вершин. Его вершинная фигура представляет собой раздвоенный треугольник .

Многогранники Пентахорона

Выпрямленный 5-клеточный — это один из 9 однородных 4-многогранников, построенных из группы [3,3,3] Кокстера .

Имя	5-клеточный	усеченный 5-клеточный	выпрямленный 5-клеточный	кантеллированный 5-клеточный	усеченный 5-ячеечный	кантитусеченный 5-клеточный	сморщенный 5-клеточный	укороченный 5-клеточный	всеусеченный 5-клеточный
Шлефли символ	{3,3,3} 3р{3,3,3}	т{3,3,3} 2т{3,3,3}	г {3,3,3} 2р{3,3,3}	рр{3,3,3} г2р{3,3,3}	2т{3,3,3}	тр{3,3,3} т2р{3,3,3}	т _0,3 {3,3,3}	т _0,1,3 {3,3,3} т _0,2,3 {3,3,3}	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Коксетер диаграмма
Шлегель диаграмма
A ₄ Самолет Коксетера График
Самолет ₃ Кокстера График
Самолет ₂ Кокстера График

Полуправильные многогранники

Выпрямленный 5-клеточный является вторым в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится как вершинная фигура предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все многогранников правильные грани , содержащие все симплексы и ортоплексы ( тетраэдры и октаэдры в случае выпрямленной 5-ячейки). Символ Кокстера для выпрямленной 5-клеточной ячейки равен 0 ₂₁ .

k ₂₁ фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
E_n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

Изотопические многогранники

Изотопные однородные усеченные симплексы
Дим.	2	3	4	5	6	7	8
Имя Коксетер	Шестиугольник = т{3} = {6}	Октаэдр = г{3,3} = {3 ^1,1} = {3,4} $\left\{{\begin{array}{l}3\\3\end{array}}\right\}$	Десятилетия 2т{3 ³}	Додекатерон 2р{3 ⁴} = {3 ^2,2} $\left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}$	Тетрадекапетон 3т{3 ⁵}	Гексадекаэксон 3р{3 ⁶} = {3 ^3,3} $\left\{{\begin{array}{l}3,3,3\\3,3,3\end{array}}\right\}$	Октадеказеттон 4т{3 ⁷}
Изображения
Вершинная фигура	( )∨( )	{ }×{ }	{ }∨{ }	{3}×{3}	{3}∨{3}	{3,3}×{3,3}	{3,3}∨{3,3}
Фасеты		{3}	т{3,3}	г {3,3,3}	2т{3,3,3,3}	2р{3,3,3,3,3}	3т{3,3,3,3,3,3}
Как пересекающийся двойной симплексы	∩	∩	∩	∩	∩	∩	∩

Примечания

^ Конвей, 2008 г.
^ Клитцинг, Ричард. «о3х4о3о — рэп» .
^ Эппштейн, Дэвид ; Куперберг, Грег ; Циглер, Гюнтер М. (2003), «Толстые 4-многогранники и более толстые 3-сферы», Бездек, Андрас (редактор), Дискретная геометрия: в честь 60-летия В. Куперберга , Чистая и прикладная математика, том. 253, стр. 239–265, arXiv : math.CO/0204007 .
^ Паффенхольц, Андреас; Циглер, Гюнтер М. (2004), « E _t -конструкция для решеток, сфер и многогранников», Discrete & Computational Geometry , 32 (4): 601–621, arXiv : math.MG/0304492 , doi : 10.1007/s00454 -004-1140-4 , МР 2096750 , S2CID 7603863 .
^ Собака, 1900 г.

Ссылки

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
ХСМ Коксетер :
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (глава 26)

Внешние ссылки

Выпрямленный 5-клеточный – данные и изображения
- 1. Выпуклая равномерная полихора на основе пентахорона — Модель 2 , Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. "4D однородные многогранники (полихора) x3o3o3o - рэп" .

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Конвей, 2008 г.

[2] Клитцинг, Ричард. «о3х4о3о — рэп» .

[3] Эппштейн, Дэвид ; Куперберг, Грег ; Циглер, Гюнтер М. (2003), «Толстые 4-многогранники и более толстые 3-сферы», Бездек, Андрас (редактор), Дискретная геометрия: в честь 60-летия В. Куперберга , Чистая и прикладная математика, том. 253, стр. 239–265, arXiv : math.CO/0204007 .

[4] Паффенхольц, Андреас; Циглер, Гюнтер М. (2004), « E _t -конструкция для решеток, сфер и многогранников», Discrete & Computational Geometry , 32 (4): 601–621, arXiv : math.MG/0304492 , doi : 10.1007/s00454 -004-1140-4 , МР 2096750 , S2CID 7603863 .

[5] Собака, 1900 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]