Согнутый 5-клеточный

Ортогональные проекции в _{A 4} плоскости Кокстера
5-клеточный	Согнутый 5-клеточный	Кантиусеченный 5-клеточный

В четырехмерной геометрии согнутая 5-ячейка представляет собой выпуклый однородный 4-клеточный многогранник , являющийся кантелляцией (усечение 2-го порядка, вплоть до выравнивания ребер ) регулярной 5-ячейки .

Согнутый 5-клеточный

Согнутый 5-клеточный
Диаграмма Шлегеля с показаны октаэдрические ячейки
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,2 {3,3,3} рр{3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	20	5 (3.4.3.4) 5 (3.3.3.3) 10 (3.4.4)
Лица	80	50 {3} 30 {4}
Края	90
Вершины	30
Вершинная фигура	Квадратный клин
Группа симметрии	A ₄ , [3,3,3], порядок 120
Характеристики	выпуклый , изогональный
Единый индекс	3 4 5

Кантеллярный однородный 5-клеточный или небольшой ромбированный пентахорон представляет собой 4-многогранник . Он имеет 30 вершин, 90 ребер, 80 граней и 20 ячеек. Ячейки — 5 кубооктаэдров , 5 октаэдров и 10 треугольных призм . Каждая вершина окружена двумя кубооктаэдрами, двумя треугольными призмами и одним октаэдром; вершинная фигура представляет собой неоднородную треугольную призму.

Альтернативные названия

Кантелляционный пентахорон
Сочлененный 4-симплекс
(маленький) призматодиспентахорон
Диспентахорон ректифицированный
Маленький ромбовидный пентахорон (аббревиатура: Срип) (Джонатан Бауэрс)

Конфигурация

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. ^[1]

ж _к	ж ₀	ж ₁		f_f2				f ₃
ж ₀	30	2	4	1	4	2	2	2	2	1
ж ₁	2	30	*	1	2	0	0	2	1	0
ж ₁	2	*	60	0	1	1	1	1	1	1
f_f2	3	3	0	10	*	*	*	2	0	0
	4	2	2	*	30	*	*	1	1	0
	3	0	3	*	*	20	*	1	0	1
	3	0	3	*	*	*	20	0	1	1
f ₃	12	12	12	4	6	4	0	5	*	*
	6	3	6	0	3	0	2	*	10	*
	6	0	12	0	0	4	4	*	*	5

Изображения

орфографические проекции
А _q Самолет Коксетера	A ₄	A_А3	A_А2
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

Каркас	Десять треугольных призм зеленого цвета.	Пять октаэдров синего цвета

Координаты

Декартовы координаты вершин сочлененной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:

Координаты
$\left(2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left(2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left(2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)$ $\left(2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ \pm 2\right)$ $\left(2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ -2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left(2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ -2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-1}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {\frac {3}{2}}},\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)$	$\left({\frac {-1}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {-1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {-1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\frac {-1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left(-3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\pm \left(0,\ {\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left(-3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\pm \left(0,\ {\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$

Вершины согнутой 5-клетки проще всего расположить в 5-мерном пространстве как перестановки:

(0,0,1,1,2)

Эта конструкция взята из положительной ортантной грани кантеллированного 5-ортоплекса .

Связанные многогранники

Выпуклая оболочка двух кантеллированных 5-клеток, расположенных в противоположных положениях, представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 100 ячеек: трех видов по 70 октаэдров (10 выпрямленных тетраэдров, 20 треугольных антипризм, 40 треугольных антиподий), 30 тетраэдров (в виде тетрагональных дисфеноидов) и 60 вершины. Его вершинная фигура представляет собой форму, топологически эквивалентную кубу с треугольной призмой, прикрепленной к одной из его квадратных граней.

Вершинная фигура

Кантиусеченный 5-клеточный

Кантиусеченный 5-клеточный
Диаграмма Шлегеля с показанными усеченными тетраэдрическими ячейками
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,1,2 {3,3,3} тр{3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	20	5 (4.6.6) 10 (3.4.4) 5 (3.6.6)
Лица	80	20{3} 30{4} 30{6}
Края	120
Вершины	60
Вершинная фигура	клиновидная кость
Группа симметрии	A ₄ , [3,3,3], порядок 120
Характеристики	выпуклый , изогональный
Единый индекс	6 7 8

Кантиусеченный многогранник 5-клеточный или большой ромбовидный пентахорон представляет собой однородный 4-мерный . Он состоит из 60 вершин, 120 ребер, 80 граней и 20 ячеек. Ячейки: 5 усеченных октаэдров , 10 треугольных призм и 5 усеченных тетраэдров . Каждая вершина окружена двумя усеченными октаэдрами, одной треугольной призмой и одним усеченным тетраэдром.

Конфигурация

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. ^[2]

ж _к	ж ₀	ж ₁			f_f2				f ₃
ж ₀	60	1	1	2	1	2	2	1	2	1	1
ж ₁	2	30	*	*	1	2	0	0	2	1	0
	2	*	30	*	1	0	2	0	2	0	1
	2	*	*	60	0	1	1	1	1	1	1
f_f2	6	3	3	0	10	*	*	*	2	0	0
	4	2	0	2	*	30	*	*	1	1	0
	6	0	3	3	*	*	20	*	1	0	1
	3	0	0	3	*	*	*	20	0	1	1
f ₃	24	12	12	12	4	6	4	0	5	*	*
	6	3	0	6	0	3	0	2	*	10	*
	12	0	6	12	0	0	4	4	*	*	5

Альтернативные названия

Кантитусеченный пентахорон
Количественно усеченный 4-симплекс
Большой призматодиспентахорон
Усеченный диспентахорон
Большой ромбовидный пентахорон (аббревиатура: захват) (Джонатан Бауэрс)

Изображения

орфографические проекции
А _q Самолет Коксетера	A ₄	A_А3	A_А2
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

Стереографическая проекция с 10 треугольными призмами .

Декартовы координаты

Декартовы координаты кантиусеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:

Координаты
$\left(3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ \pm {\sqrt {6}},\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)$ $\left(3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ \pm {\sqrt {6}},\ 0,\ \pm 2\right)$ $\left(3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\pm \left(0,\ {\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {5}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left(3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\pm \left(0,\ {\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 3\right)$ $\left(3{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)\pm \left(0,\ {\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {5}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 3\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ {\sqrt {3}},\ \pm 3\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ -2{\sqrt {3}},\ 0\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-7}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-7}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {4}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$	$\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 3\right)$ $\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ {\sqrt {3}},\ \pm 3\right)$ $\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ -2{\sqrt {3}},\ 0\right)$ $\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ -4{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ -4{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\frac {-9}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {\frac {3}{2}}},\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-9}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {-9}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$ $\left({\frac {-9}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\frac {-9}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-9}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$

Эти вершины проще построить на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки :

(0,0,1,2,3)

Эта конструкция взята из положительной ортантной грани кантиусеченного 5-ортоплекса .

Связанные многогранники

Конструкцию с двойной симметрией можно создать, поместив усеченные тетраэдры на усеченные октаэдры, в результате чего получится неоднородный полихорон с 10 усеченными тетраэдрами , 20 шестиугольными призмами (как дитригональные трапезопризмы), двумя видами из 80 треугольных призм (20 с симметрией D _3h и 60 C). _2v — симметричные клинья) и 30 тетраэдров (как тетрагональные дисфеноиды). Его вершинная фигура топологически эквивалентна октаэдру .

Вершинная фигура

Связанные 4-многогранники

Эти многогранники представляют собой набор из 9 однородных 4-многогранников, построенных из группы [3,3,3] Кокстера .

Имя	5-клеточный	усеченный 5-клеточный	выпрямленный 5-клеточный	кантеллированный 5-клеточный	усеченный 5-ячеечный	кантитусеченный 5-клеточный	сморщенный 5-клеточный	укороченный 5-клеточный	всеусеченный 5-клеточный
Шлефли символ	{3,3,3} 3р{3,3,3}	т{3,3,3} 2т{3,3,3}	г {3,3,3} 2р{3,3,3}	рр{3,3,3} г2р{3,3,3}	2т{3,3,3}	тр{3,3,3} т2р{3,3,3}	т _0,3 {3,3,3}	т _0,1,3 {3,3,3} т _0,2,3 {3,3,3}	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Коксетер диаграмма
Шлегель диаграмма
A ₄ Самолет Коксетера График
Самолет ₃ Кокстера График
Самолет ₂ Кокстера График

Ссылки

^ Клитцинг, Ричард. «о3х4х3о — дека» .
^ Клитцинг, Ричард. «х3х4х3о — захват» .

ХСМ Коксетер :
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
1. Выпуклая равномерная полихора на основе пентахорона — Модель 4, 7 , Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . х3о3х3о - срип, х3х3х3о - захват

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Клитцинг, Ричард. «о3х4х3о — дека» .

[2] Клитцинг, Ричард. «х3х4х3о — захват» .

[1]

[2]