Выпрямленные 6-ортоплексы

Ортогональные проекции в _{B 6} плоскости Кокстера
6-ортоплекс	Выпрямленный 6-ортоплекс	Биректифицированный 6-ортоплекс
Биректифицированный 6-куб	Ректифицированный 6-куб	6-куб.

В шестимерной геометрии выпрямленный 6-ортоплекс — это выпуклый однородный 6-многогранник , являющийся выпрямлением правильного 6-ортоплекса .

Существует шесть уникальных степеней ректификации, нулевая из которых — 6-ортоплекс , а 6-я и последняя — 6-куб . Вершины выпрямленного 6-ортоплекса расположены в центрах ребер 6-ортоплекса. Вершины биректифицированного 6-ортоплекса расположены в центрах треугольных граней 6-ортоплекса.

Выпрямленный 6-ортоплекс

Выпрямленный шестигранник
Тип	однородный 6-многогранник
Символы Шлефли	т ₁ {3 ⁴,4} или r{3 ⁴,4} $\left\{{\begin{array}{l}3,3,3,4\\3\end{array}}\right\}$ г {3,3,3,3 ^1,1}
Диаграммы Кокстера-Динкина	= =
5-гранный	всего 76: 64 выпрямленный 5-симплекс 12 5-ортоплекс
4-ликий	576 всего: 192 выпрямленный 5-элементный 384 5-ячеечный
Клетки	1200 всего: 240 октаэдр 960 тетраэдр
Лица	1120 всего: Треугольники 160 и 960 градусов
Края	480
Вершины	60
Вершинная фигура	16-ячеечная призма
Полигон Петри	Додекагон
Группы Кокстера	Б ₆ , [3,3,3,3,4] Д ₆ , [3 ^3,1,1]
Характеристики	выпуклый

Выпрямленный 6-ортоплекс представляет собой вершинную фигуру полугексерактических сот .

или

Альтернативные названия

выпрямленный шестигранник
ректифицированный гексаконтитетрапетон (аббревиатура: тряпка) (Джонатан Бауэрс)

Строительство

Есть две группы Кокстера , связанные с выпрямленным гексакросом , одна с группой Кокстера C ₆ или [4,3,3,3,3] и более низкая симметрия с двумя копиями граней пентакросса, чередующимися с D ₆ или [ 3 ^3,1,1] Группа Кокстера.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин выпрямленного шестиугольника с центром в начале координат, длина ребра ${\sqrt {2}}\$ все перестановки:

(±1,±1,0,0,0,0)

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₆	Б ₅	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[12]	[10]	[8]
Самолет Коксетера	B_Б3	B_Б2
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]
Самолет Коксетера	A_А5	A_А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]

Корневые векторы

60 вершин представляют корневые векторы простой группы Ли D ₆ . Вершины можно увидеть в трех гиперплоскостях : 15 вершин представляют собой выпрямленные 5-симплексные ячейки на противоположных сторонах, а 30 вершин расширенного 5-симплекса проходят через центр. В сочетании с 12 вершинами 6-ортоплекса эти вершины представляют 72 корневых вектора _{B 6} и C ₆ простых групп Ли .

60 корней D6 _можно геометрически сложить в H3 ₍ симметрия икосаэдра ), как к с 30 вершинами , создавая 2 копии икосододекаэдров , с золотым сечением между их радиусами: ^[1]

Выпрямленный 6-ортоплекс		2 икосододекаэдра
3D (проекция H3)	A ₄/B ₅/D ₆ Coxeter plane	H ₂Самолет Коксетера

Биректифицированный 6-ортоплекс

Биректифицированный 6-ортоплекс
Тип	однородный 6-многогранник
Символы Шлефли	т ₂ {3 ⁴,4} или 2r{3 ⁴,4} $\left\{{\begin{array}{l}3,3,4\\3,3\end{array}}\right\}$ т ₂ {3,3,3,3 ^1,1}
Диаграммы Кокстера-Динкина	= =
5-гранный	76
4-ликий	636
Клетки	2160
Лица	2880
Края	1440
Вершины	160
Вершинная фигура	{3} × {3,4} дуопризма
Полигон Петри	Додекагон
Группы Кокстера	Б ₆ , [3,3,3,3,4] Д ₆ , [3 ^3,1,1]
Характеристики	выпуклый

Биректифицированный 6-ортоплекс может замощить пространство в триректифицированных 6-кубических сотах .

Альтернативные названия

двунаправленный шестигранник
биректифицированный гексаконтитетрапетон (аббревиатура: хвастовство) (Джонатан Бауэрс)

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин выпрямленного шестиугольника с центром в начале координат, длина ребра ${\sqrt {2}}\$ все перестановки:

(±1,±1,±1,0,0,0)

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₆	Б ₅	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[12]	[10]	[8]
Самолет Коксетера	B_Б3	B_Б2
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]
Самолет Коксетера	A_А5	A_А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]

Его также можно спроецировать в 3D-размеры, как → , оболочка додекаэдра .

Связанные многогранники

Эти многогранники являются частью семейства из 63 однородных 6-многогранников, созданных из _{B 6} плоскости Кокстера , включая правильный 6-куб или 6-ортоплекс .

Примечания

↑ Икосододекаэдр из D6 Джона Баэза, 1 января 2015 г.

Ссылки

ХСМ Коксетер :
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии.
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты)» . о3х3о3о3о4о - тряпка, о3о3х3о3о4о - хвастаться

Внешние ссылки

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Икосододекаэдр из D6 Джона Баэза, 1 января 2015 г.

[1]

Многогранники B6
β₆	t₁β₆	t₂β₆	t₂γ₆	t₁γ₆	γ₆	t_0,1β₆	t_0,2β₆
t_1,2β₆	t_0,3β₆	t_1,3β₆	t_2,3γ₆	t_0,4β₆	t_1,4γ₆	t_1,3γ₆	t_1,2γ₆
t_0,5γ₆	t_0,4γ₆	t_0,3γ₆	t_0,2γ₆	t_0,1γ₆	t_0,1,2β₆	t_0,1,3β₆	t_0,2,3β₆
t_1,2,3β₆	t_0,1,4β₆	t_0,2,4β₆	t_1,2,4β₆	t_0,3,4β₆	t_1,2,4γ₆	t_1,2,3γ₆	t_0,1,5β₆
t_0,2,5β₆	t_0,3,4γ₆	t_0,2,5γ₆	t_0,2,4γ₆	t_0,2,3γ₆	t_0,1,5γ₆	t_0,1,4γ₆	t_0,1,3γ₆
t_0,1,2γ₆	t_0,1,2,3β₆	t_0,1,2,4β₆	t_0,1,3,4β₆	t_0,2,3,4β₆	t_1,2,3,4γ₆	t_0,1,2,5β₆	t_0,1,3,5β₆
t_0,2,3,5γ₆	t_0,2,3,4γ₆	t_0,1,4,5γ₆	t_0,1,3,5γ₆	t_0,1,3,4γ₆	t_0,1,2,5γ₆	t_0,1,2,4γ₆	t_0,1,2,3γ₆
t_0,1,2,3,4β₆	t_0,1,2,3,5β₆	t_0,1,2,4,5β₆	t_0,1,2,4,5γ₆	t_0,1,2,3,5γ₆	t_0,1,2,3,4γ₆	t_0,1,2,3,4,5γ₆