3-3 дуопризма

3-3 дуопризма
3-3 дуопризма
	3D-перспективная проекция с двумя разными поворотами
Тип	Равномерная дуопризма
Символ Шлефли	{3}×{3} = {3} 2
Диаграмма Кокстера
Двойной	3-3 дуопирамиды
Характеристики	выпуклый , вершинно-однородный , фасетно-транзитивный

В геометрии 4-х измерений дуопризма 3-3 или треугольная дуопризма представляет собой четырёхмерный выпуклый многогранник . Его можно построить как декартово произведение двух треугольников, и он является простейшим из бесконечного семейства четырехмерных многогранников, построенных как декартово произведение двух многоугольников, дуопризм .

Он имеет 9 вершин, 18 ребер, 15 граней (9 квадратов и 6 треугольников ), в 6 треугольной призмы ячейках . Есть диаграмма Кокстера. и симметрия [[3,2,3]], порядка 72. Его вершины и ребра образуют $3\times 3$ ладейный граф .

Описание

Дуопризма — это 4-многогранник, который можно построить с помощью декартова произведения двух многоугольников. ^[1] В случае 3-3 дуопризма является самой простой среди них, и ее можно построить, используя декартово произведение двух треугольников. Получившаяся дуопризма имеет 9 вершин, 18 ребер, ^[2] и 15 граней, в том числе 9 квадратов и 6 треугольников. Его ячейка имеет 6 треугольных призм .

Гиперобъем ребра однородной 3-3-дуопризмы с длиной $a$ является $V_{4}={3 \over 16}a^{4}.$ Это квадрат площади равностороннего треугольника , $A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}.$

Дуопризму 3-3 можно представить в виде графа, имеющего одинаковое количество вершин и ребер. Подобно графу Берлекампа-ван Линта-Зейделя и неизвестному решению проблемы 99-графов Конвея , каждое ребро является частью уникального треугольника, а каждая несмежная пара вершин является диагональю уникального квадрата. Это тороидальный граф , локально линейный граф , сильно регулярный граф с параметрами (9,4,1,2), $3\times 3$ ладейный граф и граф Пэли порядка 9. ^[3] Этот граф также является графом Кэли группы $G=\langle a,b:a^{3}=b^{3}=1,\ ab=ba\rangle \simeq C_{3}\times C_{3}$ с генераторной установкой $S=\{a,a^{2},b,b^{2}\}$ .

Симметрия

В 5-мерном измерении некоторые однородные 5-многогранники имеют 3-3 вершинные фигуры дуопризмы , некоторые с неравной длиной ребер и, следовательно, более низкой симметрией:

Симметрия	[[3,2,3]], порядок 72	[3,2], порядок 12
Коксетер диаграмма
Шлегель диаграмма
Имя	т ₂ а ₅	т ₀₃ а ₅	т ₀₃ γ ₅	т ₀₃ β ₅

Биректифицированные 16-ячеистые соты также имеют вершинную фигуру дуопризмы 3-3 . Существуют три конструкции сот с двумя нижними симметриями.

Симметрия	[3,2,3], порядок 36	[3,2], порядок 12	[3], порядок 6
Коксетер диаграмма
Перекос ортогональный проекция

Связанные сложные многоугольники

Правильный комплексный многогранник ₃ {4} ₂ , , в $\mathbb {C} ^{2}$ имеет реальное представление в виде 3-3- дуопризмы в 4-мерном пространстве. ₃ {4} ₂ имеет 9 вершин и 6 3-рёбер. Его симметрия равна ₃ [4] ₂ , порядок 18. Он также имеет конструкцию более низкой симметрии, , или ₃ {}× ₃ {}, с симметрией ₃ [2] ₃ , порядок 9. Это симметрия, если красные и синие 3-ребра считаются различными. ^[4]

Перспективная проекция	Ортогональная проекция с совпадающими центральными вершинами	Ортогональная проекция, вид со смещением, чтобы избежать перекрытия элементов.

Связанные многогранники

k ₂₂ фигуры в n измерениях
Космос	Конечный			евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8
Коксетер группа	А ₂ А ₂	E_Е6	${\tilde {E}}_{6}$ = Е ₆⁺	${\bar {T}}_{7}$ = Е ₆⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[[3 ^2,2,-1]]	[[3 ^2,2,0]]	[[3 ^2,2,1]]	[[3 ^2,2,2]]	[[3 ^2,2,3]]
Заказ	72	1440	103,680	∞
График				∞	∞
Имя	−1 ₂₂	0 ₂₂	1 ₂₂	2 ₂₂	3 ₂₂

3-3 дуопирамиды

3-3 дуопирамиды
Тип	Единая двойная дуопирамида
Символ Шлефли	{3}+{3} = 2{3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	9 тетрагональных дисфеноидов
Лица	18 равнобедренных треугольников
Края	15 (9+6)
Вершины	6 (3+3)
Симметрия	[[3,2,3]] = [6,2 ⁺,6], порядок 72
Двойной	3-3 дуопризма
Характеристики	выпуклый , вершинно-однородный , фасетно-транзитивный

Двойная дуопризма 3-3 называется 3-3 дуопирамидой или треугольной дуопирамидой . Он имеет 9 тетрагональных дисфеноидных ячеек, 18 треугольных граней, 15 ребер и 6 вершин.

В ортогональной проекции его можно увидеть как 6-угольный круг вершин и ребер, соединяющих все пары, как 5-симплекс, видимый в проекции.

ортогональная проекция

Связанный сложный многоугольник

Правильный комплексный многоугольник ₂ {4} ₃ , а также ₃ { }+ ₃ { } имеет 6 вершин в $\mathbb {C} ^{2}$ с реальным представительством в $\mathbb {R} ^{4}$ соответствующие такому же расположению вершин дуопирамиды 3-3. Он имеет 9 2-ребер, соответствующих соединительным ребрам 3-3-дуопирамиды, при этом 6 рёбер, соединяющих два треугольника, не включены. Его можно увидеть в шестиугольной проекции с тремя наборами цветных краев. Такое расположение вершин и ребер образует полный двудольный граф , в котором каждая вершина одного треугольника соединена с каждой вершиной другого. Его также называют графом Томсена или 4- клеткой . ^[5]

2 _полный {4} ₃ с 6 вершинами синего и красного цвета, соединенными 9 2-ребрами, образующими двудольный граф .	Он имеет 3 набора по 3 края, которые можно увидеть здесь в цветах.

См. также

Ссылки

^ Коксетер, HSM (1948), Правильные многогранники , Methuen & Co. Ltd., Лондон, стр. 124
^ Ли, Жуймин; Яо, Ян-Ань (2016), «Реверсивный механизм дуопризмы», Frontiers of Machine Engineering , 11 : 159–169, doi : 10.1007/s11465-016-0398-6
^ Махнев А.А.; Минакова И.М. (январь 2004 г.), "Об автоморфизмах сильно регулярных графов с параметрами $\lambda =1$ , $\mu =2$ ", Дискретная математика и приложения , 14 (2), doi : 10.1515/156939204872374 , MR 2069991 , S2CID 118034273
^ Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, (1974).
^ Правильные комплексные многогранники, стр.110, стр.114

Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги)
- Коксетер, HSM Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях. Учеб. Лондонская математика. Соц. 43, 33–62, 1937.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (глава 26)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Каталог Выпуклой Полихоры, раздел 6 , Георгий Ольшевский.
Упаковки аполлоновых шаров и сложенные многогранники. Дискретная и вычислительная геометрия, июнь 2016 г., том 55, выпуск 4, стр. 801–826.

Внешние ссылки

В книге «Четвертое измерение просто объяснено» дуопризмы описываются как «двойные призмы», а дуоцилиндры - как «двойные цилиндры».
Polygloss - глоссарий многомерных терминов
Исследование гиперпространства с помощью геометрического произведения

[coxeter-1] Коксетер, HSM (1948), Правильные многогранники , Methuen & Co. Ltd., Лондон, стр. 124

[ly-2] Ли, Жуймин; Яо, Ян-Ань (2016), «Реверсивный механизм дуопризмы», Frontiers of Machine Engineering , 11 : 159–169, doi : 10.1007/s11465-016-0398-6

[mm-3] Махнев А.А.; Минакова И.М. (январь 2004 г.), "Об автоморфизмах сильно регулярных графов с параметрами $\lambda =1$ , $\mu =2$ ", Дискретная математика и приложения , 14 (2), doi : 10.1515/156939204872374 , MR 2069991 , S2CID 118034273

[4] Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, (1974).

[5] Правильные комплексные многогранники, стр.110, стр.114

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]