Локально линейный граф

с девятью вершинами Граф Пэли локально линеен. Один из шести его треугольников выделен зеленым цветом.

В теории графов локально линейный граф — это неориентированный граф , в котором каждое ребро принадлежит ровно одному треугольнику. Эквивалентно, для каждой вершины графа ее соседи смежны ровно с одним другим соседом, поэтому соседи могут быть объединены в пары для индуцированного сопоставления . ^[1] Локально линейные графы также называются локально согласованными графами. ^[2] Их треугольники образуют гиперребра без треугольников 3-однородных линейных гиперграфов и блоков некоторых частичных систем троек Штейнера , а локально линейные графы являются в точности графами Гейфмана этих гиперграфов или частичных систем Штейнера.

Известны многие конструкции локально линейных графов. Примеры локально линейных графов включают треугольные графы-кактусы , линейные графы 3-регулярных графов без треугольников и декартовы произведения меньших локально линейных графов. Некоторые графы Кнезера и некоторые сильно регулярные графы также локально линейны.

Вопрос о том, сколько ребер может иметь локально линейный граф, является одной из формулировок проблемы Ружи–Семереди . Хотя плотные графы могут иметь количество ребер, пропорциональное квадрату числа вершин, локально линейные графы имеют меньшее количество ребер, отставая от квадрата по крайней мере на небольшой непостоянный коэффициент. плотнейшие планарные графы Известны также , которые могут быть локально линейными. Наименее плотные локально-линейные графы — это треугольные графы-кактусы.

Конструкции [ править ]

Склейка и изделия [ править ]

Графы дружбы , графы, образованные путем склеивания набора треугольников в одной общей вершине, являются локально линейными. Это единственные конечные графы, обладающие более сильным свойством: каждая пара вершин (соседних или несмежных) имеет ровно одного общего соседа. ^[3] В более общем смысле каждый треугольный граф-кактус , граф, образованный склеиванием треугольников в общих вершинах без образования каких-либо дополнительных циклов, является локально линейным. ^[4]

Локально линейные графы могут быть сформированы из меньших локально линейных графов с помощью следующей операции, разновидности операции суммы кликов на графах.Позволять $G$ и $H$ Если это любые два локально линейных графа, выберите из каждого из них по треугольнику и склейте два графа, объединив соответствующие пары вершин в двух выбранных треугольниках. Тогда полученный граф останется локально линейным. ^[5]

Декартово произведение любых двух локально линейных графов остается локально линейным, поскольку любые треугольники в произведении происходят из треугольников с тем или иным множителем. Например, граф Пэли с девятью вершинами (граф дуопризмы 3–3 ) представляет собой декартово произведение двух треугольников. ^[1] Граф Хэмминга $H(d,3)$ является декартовым произведением $d$ треугольников и снова локально линейна. ^[6]

Из меньших графиков [ править ]

Некоторые графы, которые сами по себе не являются локально линейными, можно использовать в качестве основы для построения более крупных локально линейных графов. Одна из таких конструкций включает линейные графики . Для любого графика $G$ , линейный график $L(G)$ граф, у которого есть вершина для каждого ребра $G$ . Две вершины в $L(G)$ являются смежными, когда два ребра, которые они представляют в $G$ иметь общую конечную точку. Если $G$ является 3-регулярным графом без треугольников , то его линейный граф $L(G)$ является 4-регулярным и локально линейным. У него есть треугольник для каждой вершины $v$ из $G$ , причем вершины треугольника соответствуют трем ребрам, инцидентным $v$ . Таким способом можно построить любой 4-регулярный локально линейный граф. ^[7] Например, график кубооктаэдра является линейным графиком куба, поэтому он локально линеен. Локально линейный граф Пэли с девятью вершинами, построенный выше как декартово произведение, также может быть построен иным способом, чем линейный граф графа полезности. $K_{3,3}$ . Благодаря этой конструкции линейный график графа Петерсена также является локально линейным. Он обладает свойством, аналогичным клеткам : это наименьший возможный граф, в котором наибольшая клика имеет три вершины, каждая вершина находится ровно в двух непересекающихся по ребрам кликах, а кратчайший цикл с ребрами из разных клик имеет длину пять. ^[8]

Кубооктаэдр — плоский локально линейный граф, который можно сформировать в виде линейного графа куба или путем приклеивания антипризм на внутреннюю и внешнюю грани 4-цикла.

Более сложный процесс разложения применим к планарным графам . Позволять $G$ быть плоским графом, вложенным в плоскость таким образом, что каждая грань является четырехугольником, например график куба. Приклеиваем квадратную антипризму на каждую грань $G$ , а затем удалив исходные края $G$ , создает новый локально линейный планарный граф. Число ребер и вершин результата можно вычислить по формуле многогранника Эйлера : если $G$ имеет $n$ вершин, он имеет ровно $n-2$ граней, а результат замены граней $G$ с помощью антипризм имеет $5(n-2)+2$ вершины и $12(n-2)$ края. ^[5] Например, кубооктаэдр снова может быть создан таким же образом из двух граней (внутренней и внешней) 4-цикла.Удаленный 4-цикл этой конструкции можно рассматривать на кубооктаэдре как цикл четырех диагоналей его квадратных граней, делящий многогранник пополам.

Алгебраические конструкции [ править ]

Некоторые графы Кнезера , графы, построенные на основе шаблонов пересечения множеств одинакового размера, локально линейны. Графы Кнезера описываются двумя параметрами: размером наборов, которые они представляют, и размером вселенной, из которой эти наборы взяты. График Кнезера $KG_{a,b}$ имеет ${\tbinom {a}{b}}$ вершины (в стандартных обозначениях для биномиальных коэффициентов ), представляющие $b$ -элементные подмножества $a$ - набор элементов. В этом графе две вершины являются смежными, если соответствующие подмножества представляют собой непересекающиеся множества , не имеющие общих элементов. В частном случае, когда $a=3b$ , то полученный граф локально линеен, поскольку для каждых двух непересекающихся $b$ -подмножества элементов $X$ и $Y$ есть ровно еще один $b$ -подмножество элементов, не пересекающееся с ними обоими, состоящее из всех элементов, которые не входят ни в один из них. $X$ ни в $Y$ . Полученный локально линейный граф имеет ${\tbinom {3b}{b}}$ вершины и ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {3b}{b}}{\tbinom {2b}{b}}$ края. Например, для $b=2$ граф Кнезера $KG_{6,2}$ локально линеен с 15 вершинами и 45 ребрами. ^[2]

Локально линейные графы также можно построить из наборов чисел без прогрессии.Позволять $p$ быть простым числом, и пусть $A$ быть подмножеством чисел по модулю $p$ такое, что никакие три члена $A$ составить арифметическую прогрессию по модулю $p$ . (То есть, $A$ представляет собой множество Салема – Спенсера по модулю $p$ .) Этот набор можно использовать для построения трехдольного графа с $3p$ вершины и $3p\cdot |A|$ ребра локально линейны. Чтобы построить этот граф, создайте три набора вершин, каждый из которых пронумерован от $0$ к $p-1$ . Для каждого номера $x$ в диапазоне от $0$ к $p-1$ и каждый элемент $a$ из $A$ , построим треугольник, соединяющий вершину с номером $x$ в первом наборе вершин вершина с номером $x+a$ во втором наборе вершин, а вершина с номером $x+2a$ в третьем наборе вершин. Постройте граф как объединение всех этих треугольников. Поскольку это объединение треугольников, каждое ребро полученного графа принадлежит треугольнику. Однако других треугольников, кроме образованных таким образом, быть не может. Любой другой треугольник будет иметь пронумерованные вершины. $(x,x+a,x+a+b)$ где $a$ , $b$ , и $c=(a+b)/2$ все принадлежат $A$ , что нарушает предположение об отсутствии арифметических прогрессий $(a,c,b)$ в $A$ . ^[9] Например, с $p=3$ и $A=\{\pm 1\}$ , результатом этой конструкции является граф Пэли с девятью вершинами.

Треугольники в локально линейном графе можно эквивалентно рассматривать как образующие 3-однородный гиперграф . Такой гиперграф должен быть линейным, то есть никакие два его гиперребра (треугольника) не могут иметь более одной общей вершины. Сам локально линейный граф является графом Гейфмана гиперграфа, графом пар вершин, принадлежащих общему гиперребру. С этой точки зрения имеет смысл говорить об обхвате гиперграфа. В терминах графа это длина кратчайшего цикла, который не является одним из треугольников графа. В этом контексте алгебраическая конструкция, основанная на графах полярности (также называемых графами Брауна), использовалась для поиска плотных локально линейных графов, не имеющих 4-циклов; их обхват гиперграфа равен пяти. Граф полярности определяется на основе конечной проективной плоскости и полярности — сохраняющей инцидентность биекции между его точками и линиями. Вершины графа полярности являются точками, а ребро соединяет две точки, если одна из них полярна линии, содержащей другую. Более алгебраически вершины одного и того же графа можно представить как однородные координаты : это тройки значений $(x,y,z)$ из конечного поля , а не всего нуля, где две тройки определяют одну и ту же точку на плоскости, если они скалярно кратны друг другу. Две точки, представленные таким образом тройками, являются соседними, когда их внутренний продукт равен нулю. Граф полярности конечного поля нечетного порядка $q$ имеет $q^{2}+q+1$ вершины, из которых $q+1$ самосмежны и не принадлежат никаким треугольникам. Когда они удалены, результатом является локально линейный граф с $q^{2}$ вершины, ${\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+o(1){\bigr )}q^{3}$ ребра и обхват гиперграфа пять, что дает максимально возможное количество ребер для локально линейного графа этого обхвата с точностью до членов младшего порядка. ^[10]

Регулярность [ править ]

Обычные графы с небольшим количеством вершин [ править ]

Граф является регулярным , если все его вершины имеют одинаковую степень — количество инцидентных ребер. Каждый локально линейный граф должен иметь четную степень в каждой вершине, поскольку ребра в каждой вершине можно объединить в треугольники. Декартово произведение двух локально линейных регулярных графов снова является локально линейным и регулярным, его степень равна сумме степеней множителей. Следовательно, можно взять декартово произведение локально линейных графов второй степени (треугольников) для получения регулярных локально линейных графов любой четной степени. ^[1]

The $2r$ -регулярные локально линейные графы должны иметь не менее $6r-3$ вершин, потому что именно столько вершин имеется только в любом треугольнике и его соседях. (Никакие две вершины треугольника не могут иметь общего соседа без нарушения локальной линейности.) Регулярные графы с ровно таким количеством вершин возможны только тогда, когда $r$ равно 1, 2, 3 или 5 и однозначно определены для каждого из этих четырех случаев. Четыре правильных графа, удовлетворяющие этому ограничению числа вершин, представляют собой 3-вершинный 2-правильный треугольник. $K_{3}$ , 9-вершинный 4-регулярный граф Пэли, 15-вершинный 6-регулярный граф Кнезера $KG_{6,2}$ и 27-вершинный 10-регулярный граф дополнений графа Шлефли . Итоговый 10-регулярный граф с 27 вершинами также представляет собой граф пересечений 27 линий на кубической поверхности . ^[2]

Сильно регулярные графики [ править ]

можно Сильно регулярный граф охарактеризовать четверкой параметров $(n,k,\lambda ,\mu )$ где $n$ количество вершин, $k$ - количество инцидентных ребер на вершину, $\lambda$ - количество общих соседей для каждой соседней пары вершин, и $\mu$ — количество общих соседей для каждой несмежной пары вершин. Когда $\lambda =1$ граф локально линеен. Уже упомянутые выше локально линейные графы являются сильно регулярными графами и имеют параметры ^[11]

треугольник (3,2,1,0),
граф Пэли с девятью вершинами (9,4,1,2),
граф Кнезера $KG_{6,2}$ (15,6,1,3) и
дополнение графа Шлефли (27,10,1,5).

Другие локально линейные сильно регулярные графы включают

граф Брауэра – Хемерса (81,20,1,6), ^[12]
граф Берлекампа – Ван Линта – Зейделя (243,22,1,2), ^[13]
граф Коссиденте – Пенттилы (378,52,1,8), ^[14] и
график Игр (729,112,1,20). ^[15]

Другие потенциально допустимые комбинации с $\lambda =1$ включают (99,14,1,2) и (115,18,1,3), но неизвестно, существуют ли сильно регулярные графы с этими параметрами. ^[11] Вопрос о существовании сильно регулярного графа с параметрами (99,14,1,2) известен как проблема Конвея с 99 графами , и Джон Хортон Конвей предложил за его решение премию в 1000 долларов. ^[16]

Дистанционно-регулярные графы [ править ]

Существует конечное число дистанционно регулярных графов степени 4 или 6, локально линейных. Помимо сильно регулярных графов тех же степеней, они также включают линейный граф графа Петерсена, граф Хэмминга. $H(3,3)$ и половинный граф Фостера . ^[17]

Плотность [ править ]

Одна из формулировок проблемы Ружи – Семереди требует максимального количества ребер в $n$ -вершинный локально линейный граф. Как доказали Имре З. Ружа и Эндре Семереди , это максимальное число равно $o(n^{2})$ но это $\Omega (n^{2-\varepsilon })$ для каждого $\varepsilon >0$ . Построение локально-линейных графов из множеств без прогрессий приводит к наиболее плотным известным локально-линейным графам с $n^{2}/\exp O({\sqrt {\log n}})$ края. (В этих формулах $o$ , $\Omega$ , и $O$ являются примерами маленькой нотации o , большой нотации Omega и большой нотации O соответственно.) ^[9]

Среди плоских графов максимальное количество ребер в локально линейном графе с $n$ вершины ${\tfrac {12}{5}}(n-2)$ . Граф кубооктаэдра является первым в бесконечной последовательности графов многогранников с $n=5k+2$ вершины и ${\tfrac {12}{5}}(n-2)=12k$ края, для $k=2,3,\dots$ , построенный путем расширения четырехугольных граней $K_{2,k}$ в антипризмы. Эти примеры показывают, что ${\tfrac {12}{5}}(n-2)$ верхняя граница может быть достигнута. ^[5]

Каждый локально линейный граф обладает тем свойством, что он остается связным после удаления из него любого паросочетания, поскольку на любом пути через граф каждое совпавшее ребро может быть заменено двумя другими ребрами его треугольника. Среди графов с этим свойством наименее плотными являются треугольные графы-кактусы, которые также являются наименее плотными локально-линейными графами. ^[4]

Приложения [ править ]

Одно из применений локально линейных графов встречается при формулировании диаграмм Гричи , которые используются в квантовой логике , чтобы помочь определить, гильбертового пространства можно ли вывести определенные уравнения друг из друга. В этом приложении треугольники локально линейных графов образуют блоки диаграмм Гричи с размером блока три. Диаграммы Гричи, соответствующие решеткам, происходят из локально линейных графов с обхватом гиперграфа пять или более, ^[18] как построено, например, на основе графиков полярности. ^[10]

Сочетание случайной выборки и леммы об удалении графа можно использовать для поиска больших 3-однородных гиперграфов большого обхвата внутри произвольных 3-однородных линейных гиперграфов или частичных систем троек Штейнера. Затем этот метод можно использовать для доказательства асимптотически точных нижних оценок числа независимости 3-однородных линейных гиперграфов и частичных систем троек Штейнера. ^[19]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Фрончек, Далибор (1989), «Локально линейные графы», Mathematica Slovaca , 39 (1): 3–6, hdl : 10338.dmlcz/136481 , MR 1016323
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ларрион, Ф.; Пизанья, Массачусетс; Вильярроэль-Флорес, Р. (2011), «Малые локально $nK 2$ графы» (PDF) , Ars Combinatoria , 102 : 385–391, MR 2867738
^ Эрдос, Пол ; Реньи, Альфред ; Сос, Вера Т. (1966), «Об одной задаче теории графов» (PDF) , Studia Sci. Венгерский. , 1 : 215–235
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фарли, Артур М.; Проскуровски, Анджей (1982), «Сети, невосприимчивые к отказам изолированных линий», Networks , 12 (4): 393–403, doi : 10.1002/net.3230120404 , MR 0686540 ; см., в частности, стр. 397: «Мы называем полученную сеть треугольным кактусом; это сеть кактусов, в которой каждая линия принадлежит ровно одному треугольнику».
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Зелинка, Богдан (1988), «Многотопические локально линейные графы», Mathematica Slovaca , 38 (2): 99–103, hdl : 10338.dmlcz/133017 , MR 0945363
^ Девиллерс, Алиса; Джин, Вэй; Ли, Цай Хэн; Прегер, Шерил Э. (2013), «Локальная 2-геодезическая транзитивность и кликовые графы», Журнал комбинаторной теории , серия A, 120 (2): 500–508, doi : 10.1016/j.jcta.2012.10.004 , MR 2995054 . В обозначениях этой ссылки семейство $2r$ -регулярных графов обозначается как $F(r,2)$ .
^ Мунаро, Андреа (2017), «Линейные графики субкубических графов без треугольников» , Discrete Mathematics , 340 (6): 1210–1226, doi : 10.1016/j.disc.2017.01.006 , MR 3624607
^ Фан, Конг (1996), «Об обобщенных клетках», Журнал теории графов , 23 (1): 21–31, doi : 10.1002/(SICI)1097-0118(199609)23:1<21::AID-JGT2 >3.0.CO;2-М , MR 1402135
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ружа, Издательство ; Семереди, Э. (1978), «Тройные системы без шести точек, несущих три треугольника», Комбинаторика (Труды пятого венгерского коллоквиума, Кестхей, 1976), Vol. II , Colloq. Математика. Сок. Янош Бояи, том. 18, Амстердам и Нью-Йорк: Северная Голландия, стр. 939–945, МР 0519318
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лазебник, Феликс; Верстраете, Жак (2003), «О гиперграфах пятого обхвата», Электронный журнал комбинаторики , 10 : R25:1–R25:15, doi : 10.37236/1718 , MR 2014512
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Махнев А.А. (1988), "Сильно регулярные графы с $\lambda =1$ ", Akademiya Nauk SSSR , 44 (5): 667–672, 702, doi : 10.1007/BF01158426 , MR 0980587 , S2CID 120911900
^ Брауэр, AE ; Хемерс, WH (1992), «Структура и уникальность (81,20,1,6) сильно регулярного графа», Сборник статей в честь Джека ван Линта, Дискретная математика , 106/107: 77–82, doi : 10.1016/0012-365Х(92)90532-К , МР 1181899
^ Берлекамп, ER ; ван Линт, Дж. Х .; Зайдель, Дж. Дж. (1973), «Сильно регулярный граф, полученный из идеального троичного кода Голея» , Обзор комбинаторной теории (Proc. Internat. Sympos., Университет штата Колорадо, Форт-Коллинз, Колорадо, 1971) , Амстердам: Северная Голландия: 25–30, номер doi : 10.1016/B978-0-7204-2262-7.50008-9 , ISBN. 9780720422627 , МР 0364015
^ Коссиденте, Антонио; Пенттила, Тим (2005), «Полусистемы на эрмитовой поверхности», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 72 (3): 731–741, doi : 10.1112/S0024610705006964 , MR 2190334
^ Бондаренко Андрей В.; Радченко Даниил В. (2013), "Об одном семействе сильно регулярных графов с $\lambda =1$ ", Журнал комбинаторной теории , серия B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016/j.jctb.2013.05.005 , MR 3071380
^ Зехави, Саар; Оливейра, Иво Фагундес Давид (2017), Не проблема Конвея с 99 графами , arXiv : 1707.08047
^ Хираки, Акира; Номура, Казумаса; Судзуки, Хироши (2000), «Дистанционно-регулярные графы валентности 6 и $a_{1}=1$ ", Журнал алгебраической комбинаторики , 11 (2): 101–134, doi : 10.1023/A:1008776031839 , MR 1761910
^ Маккей, Брендан Д .; Мегилл, Норман Д.; Павичич, Младен (2000), «Алгоритмы для диаграмм Гричи», Международный журнал теоретической физики , 39 (10): 2381–2406, arXiv : quant-ph/0009039 , doi : 10.1023/A:1026476701774 , MR 1803695
^ Хеннинг, Майкл А.; Йео, Андерс (2020), «Глава 12: Частичные тройные системы Штейнера», Трансверсали в линейных однородных гиперграфах , Развитие математики, том. 63, Чам: Springer, стр. 171–177, номер документа : 10.1007/978-3-030-46559-9_12 , ISBN. 978-3-030-46559-9 , МР 4180641

[f-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Фрончек, Далибор (1989), «Локально линейные графы», Mathematica Slovaca , 39 (1): 3–6, hdl : 10338.dmlcz/136481 , MR 1016323

[lpv-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ларрион, Ф.; Пизанья, Массачусетс; Вильярроэль-Флорес, Р. (2011), «Малые локально $nK 2$ графы» (PDF) , Ars Combinatoria , 102 : 385–391, MR 2867738

[ers-3] Эрдос, Пол ; Реньи, Альфред ; Сос, Вера Т. (1966), «Об одной задаче теории графов» (PDF) , Studia Sci. Венгерский. , 1 : 215–235

[fp-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фарли, Артур М.; Проскуровски, Анджей (1982), «Сети, невосприимчивые к отказам изолированных линий», Networks , 12 (4): 393–403, doi : 10.1002/net.3230120404 , MR 0686540 ; см., в частности, стр. 397: «Мы называем полученную сеть треугольным кактусом; это сеть кактусов, в которой каждая линия принадлежит ровно одному треугольнику».

[z-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Зелинка, Богдан (1988), «Многотопические локально линейные графы», Mathematica Slovaca , 38 (2): 99–103, hdl : 10338.dmlcz/133017 , MR 0945363

[djlp-6] Девиллерс, Алиса; Джин, Вэй; Ли, Цай Хэн; Прегер, Шерил Э. (2013), «Локальная 2-геодезическая транзитивность и кликовые графы», Журнал комбинаторной теории , серия A, 120 (2): 500–508, doi : 10.1016/j.jcta.2012.10.004 , MR 2995054 . В обозначениях этой ссылки семейство $2r$ -регулярных графов обозначается как $F(r,2)$ .

[mun-7] Мунаро, Андреа (2017), «Линейные графики субкубических графов без треугольников» , Discrete Mathematics , 340 (6): 1210–1226, doi : 10.1016/j.disc.2017.01.006 , MR 3624607

[fan-8] Фан, Конг (1996), «Об обобщенных клетках», Журнал теории графов , 23 (1): 21–31, doi : 10.1002/(SICI)1097-0118(199609)23:1<21::AID-JGT2 >3.0.CO;2-М , MR 1402135

[rs-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ружа, Издательство ; Семереди, Э. (1978), «Тройные системы без шести точек, несущих три треугольника», Комбинаторика (Труды пятого венгерского коллоквиума, Кестхей, 1976), Vol. II , Colloq. Математика. Сок. Янош Бояи, том. 18, Амстердам и Нью-Йорк: Северная Голландия, стр. 939–945, МР 0519318

[lv-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Лазебник, Феликс; Верстраете, Жак (2003), «О гиперграфах пятого обхвата», Электронный журнал комбинаторики , 10 : R25:1–R25:15, doi : 10.37236/1718 , MR 2014512

[mak-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Махнев А.А. (1988), "Сильно регулярные графы с $\lambda =1$ ", Akademiya Nauk SSSR , 44 (5): 667–672, 702, doi : 10.1007/BF01158426 , MR 0980587 , S2CID 120911900

[bh-12] Брауэр, AE ; Хемерс, WH (1992), «Структура и уникальность (81,20,1,6) сильно регулярного графа», Сборник статей в честь Джека ван Линта, Дискретная математика , 106/107: 77–82, doi : 10.1016/0012-365Х(92)90532-К , МР 1181899

[evls-13] Берлекамп, ER ; ван Линт, Дж. Х .; Зайдель, Дж. Дж. (1973), «Сильно регулярный граф, полученный из идеального троичного кода Голея» , Обзор комбинаторной теории (Proc. Internat. Sympos., Университет штата Колорадо, Форт-Коллинз, Колорадо, 1971) , Амстердам: Северная Голландия: 25–30, номер doi : 10.1016/B978-0-7204-2262-7.50008-9 , ISBN. 9780720422627 , МР 0364015

[cp-14] Коссиденте, Антонио; Пенттила, Тим (2005), «Полусистемы на эрмитовой поверхности», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 72 (3): 731–741, doi : 10.1112/S0024610705006964 , MR 2190334

[br-15] Бондаренко Андрей В.; Радченко Даниил В. (2013), "Об одном семействе сильно регулярных графов с $\lambda =1$ ", Журнал комбинаторной теории , серия B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016/j.jctb.2013.05.005 , MR 3071380

[zd-16] Зехави, Саар; Оливейра, Иво Фагундес Давид (2017), Не проблема Конвея с 99 графами , arXiv : 1707.08047

[hns-17] Хираки, Акира; Номура, Казумаса; Судзуки, Хироши (2000), «Дистанционно-регулярные графы валентности 6 и $a_{1}=1$ ", Журнал алгебраической комбинаторики , 11 (2): 101–134, doi : 10.1023/A:1008776031839 , MR 1761910

[mmp-18] Маккей, Брендан Д .; Мегилл, Норман Д.; Павичич, Младен (2000), «Алгоритмы для диаграмм Гричи», Международный журнал теоретической физики , 39 (10): 2381–2406, arXiv : quant-ph/0009039 , doi : 10.1023/A:1026476701774 , MR 1803695

[hy-19] Хеннинг, Майкл А.; Йео, Андерс (2020), «Глава 12: Частичные тройные системы Штейнера», Трансверсали в линейных однородных гиперграфах , Развитие математики, том. 63, Чам: Springer, стр. 171–177, номер документа : 10.1007/978-3-030-46559-9_12 , ISBN. 978-3-030-46559-9 , МР 4180641

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]