Гессенский карандаш

В математике сизигетный карандаш или карандаш Гессе , названный в честь Отто Гессе , представляет собой карандаш (одномерное семейство) кубических плоских эллиптических кривых в комплексной проективной плоскости , определяемый уравнением

$\lambda (x^{3}+y^{3}+z^{3})+\mu xyz=0.$

Каждая кривая в семействе определяется парой значений параметров ( $\lambda ,\mu$) (не одновременно ноль) и состоит из точек плоскости, однородные координаты которых $(x,y,z)$ удовлетворяют уравнению для этих параметров. Умножение обоих $\lambda$ и $\mu$ на тот же скаляр не меняет кривую, поэтому существует только одна степень свободы при выборе кривой с карандаша, но приведенная выше двухпараметрическая форма позволяет либо $\lambda$ или $\mu$ (но не оба) должны быть установлены на ноль.

Каждая кривая на карандаше проходит через девять точек комплексной проективной плоскости, которых однородными координатами являются некоторая перестановка 0, –1 и кубический корень из единицы . Есть три корня из единицы и шесть перестановок на каждый корень, что дает 18 вариантов выбора однородных координат каждой точки, но они эквивалентны в парах, дающих только девять точек. Семейство кубиков, проходящих через эти девять точек, образует карандаш Гессе. В более общем смысле, можно заменить комплексные числа любым полем, содержащим кубический корень из единицы, и определить карандаш Гессе над этим полем как семейство кубик, проходящих через эти девять точек.

Девять общих точек карандаша Гессе — это точки перегиба каждой кубики карандаша. Любая линия, проходящая хотя бы через две из этих девяти точек, проходит ровно через три из них; девять точек и двенадцать линий, проходящих через тройки точек, образуют конфигурацию Гессена .

Всякая эллиптическая кривая бирационально эквивалентна кривой пучка Гессе; это гессианская форма эллиптической кривой . Однако параметры ( $\lambda ,\mu$) гессианской формы может принадлежать расширению поля определения исходной кривой.

Ссылки

• Артебани, Микела; Долгачев, Игорь (2009), «Пучок Гессе плоских кубических кривых», L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 55 (3): 235–273, arXiv : math/0611590 , doi : 10.4171/lem/55-3- 3 , ISSN   0013-8584 , МР   2583779
• Гроув, Чарльз Клейтон (1906), Сизигетный карандаш кубиков с новым геометрическим развитием его Гессенской группы , Балтимор, Мэриленд.