Конфигурация Рейе

Конфигурация Рейе

В геометрии конфигурация Рея , введенная Теодором Рейе ( 1882 ), представляет собой конфигурацию из 12 точек и 16 линий .Каждая точка конфигурации принадлежит четырем линиям, а каждая линия содержит три точки. Поэтому в обозначениях конфигураций конфигурация Рея записывается как 12 ₄ 16 ₃ .

Реализация

Конфигурацию Рея можно реализовать в трехмерном проективном пространстве, если считать прямые 12 ребрами и четырьмя длинными диагоналями куба , а точки — восемью вершинами куба, его центром и тремя точками, где расположены группы четыре параллельных ребра куба встречаются с плоскостью на бесконечности. Два правильных тетраэдра могут быть вписаны в куб, образуя стеллу-октангулу ; эти два тетраэдра являются перспективными фигурами друг для друга четырьмя разными способами, а остальные четыре точки конфигурации являются их центрами перспективы. Эти два тетраэдра вместе с тетраэдром остальных четырех точек образуют десмическую систему из трех тетраэдров.

Любые две непересекающиеся сферы в трехмерном пространстве, имеющие разные радиусы, имеют два двукасательных двойных конуса , вершины которых называются центрами подобия. Если даны три сферы с неколлинеарными центрами, то шесть их центров подобия образуют шесть точек полного четырехугольника , четыре линии которого называются осями подобия. А если даны четыре сферы с некомпланарными центрами, то они определяют 12 центров подобия и 16 осей подобия, которые вместе образуют пример конфигурации Рея ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ).

Конфигурацию Рея также можно реализовать с помощью точек и линий на евклидовой плоскости , нарисовав трехмерную конфигурацию в трехточечной перспективе . Конфигурация 8 ₃ 12 ₂ из восьми точек на вещественной проективной плоскости и 12 соединяющих их прямых с схемой соединения куба может быть расширена до конфигурации Рея тогда и только тогда, когда восемь точек являются перспективной проекцией параллелепипеда . ( Серватиус и Серватиус 2010 )

24 перестановки точек $(\pm 1,\pm 1,0,0)$образуют вершины 24-клеточного пространства с центром в начале четырехмерного евклидова пространства.Эти 24 точки также образуют 24 корня корневой системы. $D_{4}$.Их можно сгруппировать в пары точек, противоположных друг другу на линии, проходящей через начало координат. 12 осевых линий можно сгруппировать в 16 троек, лежащих в одной центральной плоскости 24-клеточной ячейки. Каждая центральная плоскость пересекает 6 вершин в форме правильного шестиугольника. В каждой вершине 24-клетки пересекаются четыре шестиугольника. 12 осевых линий и 16 шестиугольных плоскостей 24-клеточной ячейки соответствуют 12 точкам и 16 линиям конфигурации Рея ( Аравинд 2000 ).

Линии и плоскости, проходящие через начало четырехмерного евклидова пространства, имеют геометрию точек и линий трехмерного проективного пространства , и в этом трехмерном проективном пространстве линии, проходящие через противоположные пары этих 24 точек, и центральные плоскости, проходящие через эти точки становятся точками и линиями конфигурации Рея ( Manivel 2006 ). Перестановки $(\pm 1,\pm 1,0,0)$ образуют однородные координаты 12 точек в этой конфигурации.

Приложение

Аравинд (2000) отметил, что конфигурация Рея лежит в основе некоторых доказательств теоремы Белла – Кохена – Спекера о несуществовании скрытых переменных в квантовой механике.

Связанные конфигурации

Конфигурация Паппа может быть образована из двух треугольников, которые являются перспективными фигурами друг для друга тремя разными способами, аналогично интерпретации конфигурации Рея, включающей десмические тетраэдры.

Если конфигурация Рея образуется из куба в трехмерном пространстве, то имеется 12 плоскостей, содержащих по четыре линии каждая: шесть плоскостей граней куба и шесть плоскостей, проходящих через пары противоположных ребер куба. Пересечение этих 12 плоскостей и 16 линий с другой плоскостью в общем положении дает конфигурацию 16 ₃ 12 ₄ , двойственную конфигурации Рея. Исходная конфигурация Рея и ее двойник вместе образуют конфигурацию 28 ₄ 28 ₄ ( Grunbaum & Rigby 1990 ).

Существует 574 различных конфигурации типа 12 ₄ 16 ₃ ( Betten & Betten 2005 ).

Ссылки

• Аравинд, ПК (2000), «Как конфигурация Рея помогает в доказательстве теоремы Белла-Кохена-Спкера: любопытная геометрическая история» (PDF) , Foundations of Physics Letters , 13 (6): 499–519, doi : 10.1023/A : 1007863413622 , МР   1814009
• Бергер, Марсель (2010), «Раскрытие геометрии» , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-70997-8 , ISBN  978-3-540-70996-1 , МР   2724440
• Беттен, Антон; Беттен, Дитер (2005), «Больше о регулярных линейных пространствах» (PDF) , Journal of Combinatorial Designs , 13 (6): 441–461, doi : 10.1002/jcd.20055 , MR   2221852 .
• Грюнбаум, Бранко ; Ригби, Дж. Ф. (1990), «Реальная конфигурация (21 ₄ )», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112/jlms/s2-41.2.336 , MR   1067273 .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), «22. Конфигурация Рея», Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 134–143, ISBN  978-0-8284-1087-8 . См. также стр. 154–157.
• Манивель, Л. (2006), «Конфигурации линий и модели алгебр Ли», Journal of Algebra , 304 (1): 457–486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , МР   2256401 . См., в частности, раздел 2.1 «Конфигурация Рея и тройственность», стр. 460–461.
• Рей, Т. (1882), «Das Issue der Configurationen», Acta Mathematica (на немецком языке), 1 (1): 93–96, doi : 10.1007/BF02391837 , MR   1554576 .
• Серватиус, Бриджит ; Серватиус, Герман (2010), «Обобщенная конфигурация Рея», Ars Mathematica Contemporanea , 3 (1): 21–27, doi : 10.26493/1855-3974.108.423 , MR   2592512 .