Конфигурация Кляйна
В геометрии конфигурация Клейна , изученная Клейном ( 1870 ), представляет собой геометрическую конфигурацию, связанную с куммеровыми поверхностями , состоящую из 60 точек и 60 плоскостей, при этом каждая точка лежит на 15 плоскостях и каждая плоскость проходит через 15 точек. В конфигурации используется 15 пар линий, 12 . 13 . 14 . 15 . 16 . 23 . 24 . 25 . 26 . 34 . 35 . 36 . 45 . 46 . 56 и их реверсы. 60 точек представляют собой три параллельные линии, образующие нечетную перестановку, показанную ниже. Шестьдесят плоскостей представляют собой три компланарные линии, образующие четные перестановки, полученные перестановкой последних двух цифр в точках. Для любой точки или плоскости в другом наборе есть 15 членов, содержащих эти 3 линии. [Гудзон, 1905 г.]
| 12-34-65 | 12-43-56 | 21-34-56 | 21-43-65 | 12-35-46 | 12-53-64 |
| 21-35-64 | 21-53-46 | 12-36-54 | 12-63-45 | 21-36-45 | 21-63-54 |
| 13-24-56 | 13-42-65 | 31-24-65 | 31-42-56 | 13-25-64 | 13-52-46 |
| 31-25-46 | 31-52-64 | 13-26-45 | 13-62-54 | 31-26-54 | 31-62-45 |
| 14-23-65 | 14-32-56 | 41-23-56 | 41-32-65 | 14-25-36 | 14-52-63 |
| 41-25-63 | 41-52-36 | 14-26-53 | 14-62-35 | 41-26-35 | 41-62-53 |
| 15-23-46 | 15-32-64 | 51-23-64 | 51-32-46 | 15-24-63 | 15-42-36 |
| 51-24-36 | 51-42-63 | 15-26-34 | 15-62-43 | 51-26-43 | 51-62-34 |
| 16-23-54 | 16-32-45 | 61-23-45 | 61-32-54 | 16-24-35 | 16-42-53 |
| 61-24-53 | 61-42-35 | 16-25-43 | 16-52-34 | 61-25-34 | 61-52-43 |
Координаты точек и плоскостей
[ редактировать ]Возможный набор координат точек (а также плоскостей!) следующий:
| Р 1 =[0:0:1:1] | Р 11 =[0:1:−1:0] | Р 21 =[1:1:0:0] | Р 31 =[1:1:−1:1] | P 41 = [1:−1: я : я ] | P 51 = [1:- я :-1: я ] |
| Р 2 =[0:0:1: я ] | P 12 =[0:1:− i :0] | Р 22 =[1: я :0:0] | Р 32 = [1:1:−1:−1] | P 42 = [1:−1: я :− я ] | P 52 = [1:- я :-1:- я ] |
| Р 3 = [0:0:1:−1] | П 13 =[1:0:0:1] | Р 23 =[1:−1:0:0] | Р 33 = [1:−1:1:1] | P 43 = [1:−1:− я : я ] | Р 53 =[1: я : я : 1] |
| Р 4 =[0:0:1:- я ] | Р 14 =[1:0:0: я ] | P 24 =[1:− i :0:0] | Р 34 =[1:−1:1:−1] | P 44 = [1:−1:− i :− i ] | Р 54 =[1: я :- я :1] |
| Р 5 =[0:1:0:1] | Р 15 =[1:0:0:-1] | Р 25 =[1:0:0:0] | Р 35 =[1:−1:−1:1] | Р 45 =[1: я : 1: я ] | P 55 =[1:− i : i :1] |
| Р6 = [0:1:0: я ] | П 16 =[1:0:0:- я ] | P26 ] =[0:1:0:0 | P 36 = [1:−1:−1:−1] | P 46 = [1: я :1:- я ] | P 56 =[1:− i :− i :1] |
| Р 7 =[0:1:0:-1] | П 17 =[1:0:1:0] | П 27 = [0:0:1:0] | Р 37 =[1:1: я : я ] | P 47 =[1:− я :1: я ] | P 57 = [1: я : я : -1] |
| П 8 =[0:1:0:- я ] | Р 18 =[1:0: я :0] | Р 28 =[0:0:0:1] | П 38 =[1:1:− я : я ] | П 48 =[1:- я :1:- я ] | P 58 =[1: я :- я :-1] |
| Р 9 =[0:1:1:0] | Р 19 =[1:0:−1:0] | П 29 = [1:1:1:1] | P 39 = [1:1: я :- я ] | P 49 = [1: я :-1: я ] | P 59 =[1:− i : i :−1] |
| Р 10 =[0:1: я :0] | P 20 =[1:0:− i :0] | Р 30 =[1:1:1:−1] | P 40 = [1:1:− i :− i ] | P 50 = [1: я :-1:- я ] | P 60 =[1:− i :− i :−1] |
Ссылки
[ редактировать ]- Хадсон, RWHT (1990) [1905], Клейна 60 15 «§25. Конфигурация » , квартическая поверхность Куммера , Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press , стр. 42–44, ISBN 978-0-521-39790-2 , МР 1097176
- Кляйн, Феликс (1870), «К теории линейных комплексов первой и второй степени» , Mathematical Annals , 2 (2), Springer Berlin/Heidelberg: 198–226, doi : 10.1007/BF01444020 , ISSN 0025-5831 , S2CID 121706710
- Покора, Петр; Земберг, Томаш; Шпонд, Юстина (2020). «Неожиданные свойства конфигурации Клейна 60 точек в P3». arXiv : 2010.08863 [ math.AG ]. Но в оригинальной статье координаты P43 неверны.