Поверхность Куммера

В алгебраической геометрии , квартическая поверхность Куммера впервые изученная Эрнстом Куммером ( 1864 ), представляет собой неприводимую узловую поверхность степени 4 в $\mathbb {P} ^{3}$ с максимально возможным количеством 16 двойных очков. поверхность является многообразием Куммера якобиана Любая такая гладкой гиперэллиптической кривой рода 2 ; т.е. фактор якобиана по инволюции Куммера x ↦ − x . Инволюция Куммера имеет 16 неподвижных точек: 16 точек 2-кручения якобиана, и они являются 16 особыми точками поверхности квартики. Разрешение 16 двойных точек фактора (возможно, неалгебраического) тора с помощью инволюции Куммера дает поверхность K3 с 16 непересекающимися рациональными кривыми; эти поверхности К3 также иногда называют поверхностями Куммера.

Другие поверхности, тесно связанные с поверхностями Куммера, включают поверхности Уэддла , волновые поверхности и тетраэдроиды .

Геометрия [ править ]

поверхности четвертой степени и модель Особые двойной плоскости

Позволять $K\subset \mathbb {P} ^{3}$ — поверхность четвертого порядка с обычной двойной точкой p , вблизи которой K выглядит как квадратичный конус. Любая проективная прямая, проходящая через p, тогда пересекает K с кратностью два в p и, следовательно, встретится с квартикой K всего в двух других точках. Определение линий в $\mathbb {P} ^{3}$ через точку р с $\mathbb {P} ^{2}$ , мы получаем двойное покрытие от раздутия K в точке p до $\mathbb {P} ^{2}$ ; это двойное покрытие имеет видотправка q ≠ p ↦ $\scriptstyle {\overline {pq}}$ , и любая прямая в касательном конусе p в K к самой себе. Локусом ветвления двойного накрытия является плоская кривая C степени 6, и все узлы K , которые не являются p, отображаются в узлы C .

По формуле степени рода максимально возможное число узлов на секстической кривой получается, когда кривая представляет собой объединение $6$ линии, и в этом случае у нас есть 15 узлов. Следовательно, максимальное количество узлов в квартике равно 16, и в этом случае все они простые узлы (чтобы показать, что $p$ это простой проект с другого узла). Квартика, которая получает эти 16 узлов, называется квартикой Куммера, и мы сосредоточимся на ней ниже.

С $p$ — простой узел, касательный конус к этой точке отображается в конику под двойным покрытием. Эта коника на самом деле касается шести прямых (доказательства нет). И наоборот, зная конфигурацию коники и шести прямых, касающихся ее на плоскости, мы можем определить двойное накрытие плоскости, разветвленное над объединением этих шести прямых. Эта двойная обложка может быть сопоставлена с $\mathbb {P} ^{3}$ , при отображении, которое разрушает двойное накрытие специальной коники и является изоморфизмом в другом месте (два доказательства).

Двойная плоскость и якобианов многообразия куммеровы

Начиная с плавной кривой $C$ рода 2, мы можем определить якобиан $Jac(C)$ с $Pic^{2}(C)$ под картой $x\mapsto x+K_{C}$ . Теперь мы наблюдаем два факта: поскольку $C$ — гиперэллиптическая кривая, отображение симметричного произведения $Sym^{2}C$ к $Pic^{2}C$ , определяемый $\{p,q\}\mapsto p+q$ , является разрушением графика гиперэллиптической инволюции до класса канонических дивизоров . Более того, каноническое отображение $C\to |K_{C}|^{*}$ представляет собой двойную крышку. Отсюда мы получаем двойное покрытие $Kum(C)\to Sym^{2}|K_{C}|^{*}$ .

Эта двойная обложка уже появлялась выше: 6 строк представляют собой изображения нечетных симметричных тета-делителей на $Jac(C)$ , а коника является образом раздутого 0. Коника изоморфна канонической системе посредством изоморфизма $T_{0}Jac(C)\cong |K_{C}|^{*}$ , и каждая из шести линий естественно изоморфна двойственной канонической системе $|K_{C}|^{*}$ посредством идентификации тета-делителей и сдвигов кривой $C$ . Существует соответствие 1-1 между парами нечетных симметричных тета-дивизоров и точками 2-кручения на якобиане, определяемое тем фактом, что $(\Theta +w_{1})\cap (\Theta +w_{2})=\{w_{1}-w_{2},0\}$ , где $w_{1},w_{2}$ являются точками Вейерштрасса (которые являются нечетными тета-характеристиками в этом роде 2). Следовательно, точки ветвления канонического отображения $C\mapsto |K_{C}|^{*}$ появляются на каждой из этих копий канонической системы как точки пересечения прямых и точки касания прямых и коники.

Наконец, поскольку мы знаем, что каждая куммеровая квартика является куммеровым многообразием якобиана гиперэллиптической кривой, мы покажем, как восстановить поверхность куммеровой квартики непосредственно из якобиана кривой рода 2: Якобиан $C$ отображается в полную линейную систему $|O_{Jac(C)}(2\Theta _{C})|\cong \mathbb {P} ^{2^{2}-1}$ (см. статью об абелевых многообразиях ). Эта карта учитывает разнообразие Куммера как карту степени 4, которая имеет 16 узлов на изображениях точек 2-торсиона на $Jac(C)$ .

Комплекс квадрики [ править ]

Структура уровня 2 [ править ]

Куммера ₆Конфигурация 16

Есть несколько важных моментов, которые связывают геометрические, алгебраические и комбинаторные аспекты конфигурации узлов куммеровой квартики:

Любой симметричный нечетный тета-делитель на $Jac(C)$ задается заданными точками $\{q-w|q\in C\}$ , где w — точка Вейерштрасса на $C$ . Этот тэта-дивизор содержит шесть точек 2-торсиона: $w'-w$ такой, что $w'$ является точкой Вейерштрасса.
Два нечетных тета-делителя, заданные точками Вейерштрасса. $w,w'$ пересекаться в $0$ и в $w-w'$ .
Перевод якобиана на две точки кручения является изоморфизмом якобиана как алгебраической поверхности, который отображает множество 2-точек кручения в себя.
В полной линейной системе $|2\Theta _{C}|$ на $Jac(C)$ , любой нечетный тета-дивизор отображается в конику, которая является пересечением квартики Куммера с плоскостью. Более того, эта полная линейная система инвариантна относительно сдвигов на точки 2-кручения.

Таким образом, мы имеем конфигурацию $16$ коники в $\mathbb {P} ^{3}$ ; где каждый содержит 6 узлов и так, что пересечение каждых двух происходит по 2 узлам. Эта конфигурация называется $16_{6}$ конфигурация или конфигурация Куммера .

Пейринг Вейля [ править ]

Точки 2-кручения абелева многообразия допускают симплектическую билинейную форму, называемую спариванием Вейля. В случае якобианов кривых второго рода каждая нетривиальная точка 2-кручения однозначно выражается как разность двух из шести точек Вейерштрасса кривой. Спаривание Вейля в этом случае определяется выражением $\langle p_{1}-p_{2},p_{3}-p_{4}\rangle =\#\{p_{1},p_{2}\}\cap \{p_{3},p_{4}\}$ . Можно восстановить многие теоретико-групповые инварианты группы. $Sp_{4}(2)$ через геометрию $16_{6}$ конфигурация.

Теория групп, алгебра и геометрия [ править ]

Ниже приведен список теоретико-групповых инвариантов и их геометрическое воплощение в конфигурации 16 ₆ .

Ссылки [ править ]

Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN. 978-3-540-00832-3 , МР 2030225
Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия. Современный взгляд , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-1-107-01765-8 , МР 2964027
Хадсон, RWHT (1990), квартическая поверхность Куммера , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-39790-2 , МР 1097176
Куммер, Эрнст Эдуард (1864), «О поверхностях четвертой степени с шестнадцатью особыми точками», Ежемесячные отчеты Королевской прусской академии наук в Берлине : 246–260. Перепечатано в ( Куммер, 1975 ).
Куммер, Эрнст Эдуард (1975), Сборник статей: Том 2: Теория функций, геометрия и прочее , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06836-7 , МР 0465761
Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Куммер_поверхность» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Поверхность Куммера », которая доступна под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не под лицензией GFDL .